Sáng kiến kinh nghiệm: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp đồ thị (Bài kiểm tra học trình)
Trong chương trình toán phổ thông, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một kiến thức cơ bản và quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt. » Xem thêm
Tóm tắt nội dung tài liệu
-
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA TOÁN
LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29
Nhóm thực hiện:
Lê Văn Đẳng
Lê Thị Hà Giang
Lê Hòa Hải
Lê Thị Hải
Nguyễn Thị Diệu Hạnh
Nguyễn Thị Mỹ Hạnh
Phạm Thị Mỹ Hạnh
ề tài :
Đ
GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
(Bài kiểm tra học trình )
Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ
1
- Quy nhơn, tháng 10 năm 2009.
LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình toán phổ thông, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là
một kiến thức cơ bản và quan trọng mà học sinh cần phải nắm bắt. Đây là mảng
kiến thức được xem là tương đối khó đối với học sinh, bởi khi gặp bất kì bài toán
nào mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối (đặc biệt ở là việc giải và biện
luận phương trình) học sinh cần phải thận trọng trong từng bước giải ở mỗi
trường hợp. Hiện nay, có khá nhiều sách viết về vấn dề này với lối trình bày, diễn
đạt khác nhau và nhiều phương pháp giải cho dạng toán này. Trong đó, phương
pháp đồ thị là phương pháp mà chúng tôi thấy khá hay cần phải nghiên cứu. Với
vốn kiến thức của mình, cùng với sự tìm tòi, học hỏi chúng tôi đã cùng nhau đúc
kết lại để làm nên đề tài này. Mặc dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo các tài
liệu hiện nay để viết nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được
sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và quý bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cảm
ơn!
Nhóm sinh viên thực hiện
2
- MỤC LỤC
PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
A. Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối..........................1
B. Phương pháp đồ thị giải phương trình dạng f(x,m) = g(m).............................2
PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: y = |f(x)|....................................................................................................3
Dạng 2: y = f(|x|)....................................................................................................14
Dạng 3: y = |f(|x|)|...................................................................................................19
Dạng 4: y = |f(x)|g(x)..............................................................................................22
KẾT LUẬN CHUNG................................................................................................26
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................27
3
- PHẦN I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
A.Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Dạng 1: y = |f(x)|
￬ f (x) khi f (x) ￬ 0
Ta có y = |f(x)| = ￬￬
￬￬ - f (x) khi f (x) < 0
Do đó đồ thị y = |f(x)| gồm:
+ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f (x) .
+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f (x) qua Ox.
Dạng 2: y = f(|x|).
￬ f (x) khi x ￬ 0
Ta có y = f(|x|) = ￬￬
￬￬ f (- x) khi x < 0
Và y = f (|x|) là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là oy.
Do đó đồ thị y = f(|x|) gồm :
+ Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x).
+ Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.
Dạng 3 : y = |f(|x|)|.
Từ đồ thị y = f(x) để suy ra đồ thị y = |f(|x|)| chúng ta thực hiện hai quy
tắc 1 & 2. Cụ thể là :
+ Từ y = f(x) suy ra y = |f(x)| = g(x).
+ Từ y = g(x) suy ra y = g(|x|) = |f(|x|)|.
hoặc
+ y = f(x) suy ra y = f(|x|) = h(x).
+ y = h(x) suy ra y = |h(x)| = |f(|x|)|.
Dạng 4 : y= |u(x)|.v(x)
￬ u(x).v(x) khi u(x) ￬ 0
Ta có y= |u(x)|.v(x) = ￬￬
￬￬ - u(x).v(x) khi u(x) < 0
Do đó để có đồ thị hàm số y= |u(x)|.v(x) trước hết ta vẽ đồ thị y= f(x) = u(x).v(x)
và từ đó đồ thị y= |u(x)|.v(x) gồm :
4
- +Phần từ đồ thị y=f(x) trên miền u(x) ￬ 0.
+Đối xứng phần đồ thị y=f(x) trên miền u(x)
- PHẦN II : CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG I y = |f(x)|
I. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : |2x+1| = m (1)
Bài giải:
Xét hàm số : y = 2x+1.
TXT: D = ￬.
BBT
x ∞ +∞
y +∞
∞
Đồ thị của hàm số y = 2x+1 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(0,1) ; B(1,1)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |2x+1|,gồm 2 phần :
+ Phần phía trên trục hoành của đồ thị y = 2x+1.
+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của đồ thị y = 2x+1 qua Ox.
Khi đó, số nghiệm của phương trình là số
Điểm của (C) và đường thẳng y = m.
Vì vậy
.Với m
- .Với m = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm
.với m > 0 : phương trình (1) co 2 nghiệm
phân biệt
Ví dụ 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau :
| |m|x – 3| = 4 m (2)
Bài giải:
Ta hãy vẽ đường thẳng biểu diễn của hàm số : y1 = | |m|x – 3| (3)
và cắt nó bằng đường thẳng y2 = 4 – m (4) song song với trục hoành.
Khi đó , tọa độ giao điểm là nghiệm của phương trình (2)
Trường hợp: m = 0 phương trình (2) vô nghiệm.
Trường hợp: m ≠ 0
￬m>0 ￬m
- ￬4- m ￬ 0 ￬m￬ 4
Từ phương trình (1) ta có điều kiện : ￬￬ ￬￬
￬￬ m ￬ 0 ￬￬ m ￬ 0
Nếu thêm điều kiện m>0 thi ta có 0
- y +∞
+∞
4
Đồ thị : Ta lấy thêm 2 điểm A(3,0) và B(1,0)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = |x2 + 2x 3| , gồm 2 phần:
+ Phần phía trên trục hoành của (P).
+ Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của (P) qua Ox
Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng y
= m
ta được :
Với m 4 : phương trình (1) có 2 nghiệm
Với 0
- Ví dụ 4 :
Với giá trị nào của m thì phương trình :
|x 2 - 2 x|
��
1
￬￬ ￬￬ = m 2 + m + 1 (1) có 4 nghiệm phân biệt.
￬��
3 ￬
Bài giải:
Vì m 2 + m + 1 > 0,với mọi m nên lấy logarit cơ số 1/3 hai vế phương trình (1) ta
được:
|x2 – 2x| = log1/3(m2 + m + 1) (2)
Đặt log1/3(m2 + m + 1) = a . Khi đó phương trình (2) được viết lại |x2 – 2x| = a.
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đường thẳng y = |x2 – 2x| tại 4 điểm
phân biệt.
￬￬ x 2 - 2x khi x ￬ 0 ho ặc ￬ 2
x
Xét hàm số y = |x – 2x| = ￬
2
￬￬ 2x - x 2 khi 0
-
Từ đồ thị suy ra 0
- X 0 2 +
y’ + 0 0 +
y 6 +
10
Đồ thị hàm số :
Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=| x3 – 3x2 – 6| gồm:
Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y= f(x)
Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành .
Biện luận :
Với a
- Với a = 0 : phương trình (1) có 1 nghiệm.
Với 0
-
Biện luận:
Nếu log4m > 2 m > 16 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Nếu log4m = 2 m = 16 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Nếu 1
- xlim
￬ -2
y = ￬ nên x = 2 là tiệm cận đứng.
xlim
￬ ￬
[ y - (x +1) ] = 0 nên y = x +1 là tiệm cận xiên.
BBT:
x 3 2 1 +
y’ 0 0
y 3 + +
1
x 2 + 3x + 3 x 2 + 3x + 3
Từ đồ thị của hàm số y = suy ra đồ thị của hàm số y =
x+2 x +2
gồm:
Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = f(x).
Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành .
Biện luận:
Với a
- Với 1
- Bài giải:
Xét hàm số: y = 2x + 5
Mxđ: D = R
Đồ thị của hàm số y = 2x + 5 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(2,1) và B(1,3)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = 2|x| + 5, gồm 2 phần:
Phần phía bên phải Oy của đồ thị y = 2x + 5
Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.
Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao đỉểm của (C) và đường thẳng
y = 3m. Ta được:
Với 3m 5/3 thì phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 2|x| + m = 0 (1)
Bài giải:
Xét hàm số (P): y = x2 + 2x
Mxđ: D = R
BBT:
x 1
y 1
17
-
Đồ thị: ta lấy thêm 2 điểm O(0,0), A(2,0).
Viết lại phương trình dưới dạng: x2 + 2|x| = m
Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x2 + 2|x| gồm 2 phần:
* Phần phía bên phải Oy của (P)
* Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy
Khi đó, số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và đường
thẳng y = m,ta được:
Với m > 1 : phương trình vô nghiệm.
Với m = 1 v m
- y 0 +
Giới hạn: = x3(1 + ] =
BBT:
x 2 0
y’ 0 + 0
y 5
1
Đồ thị của hàm số:
y=f(x) y = f(x1) y = 1
b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = |x 1|3 + 3(x1)2 + 1 = f(|x1|) với đường thẳng y = m.
Đồ thị y = f(|x – 1|) được suy ra từ đồ thị của hàm số y = f(x) theo hai bước:
* Bước 1: Suy ra đồ thị y = f(x – 1) bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y =
f(x) sang phải 1 đơn vị
*Bước 2: Suy ra đồ thị y = f(|x – 1|) gồm:
19
- Phần bên phải đường thẳng y = 1 của đồ thị y = f(x – 1)
Đối xứng phần đồ thị trên qua đường thẳng y = 1
Biện luận:
Với m 1 phương trình có 2 nghiệm.
Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
y = f(x) = = m (1)
Bài giải:
Xét hàm số y = f1(x) =
Mxđ: D = R\{1}
f1’(x)=
