Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Dạy học theo chủ đề dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Đề tài xây dựng trên hệ thống kiến thức, bài tập phù hợp, chặt chẽ, logic, khoa học, nhằm phát huy tối đa năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ở học sinh. » Xem thêm

28-12-2021 78 5

Download

Xem online

Tóm tắt nội dung tài liệu

PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo từ lâu đã được xác định là một trong những mục tiêu quan trọng của giáo dục, theo chương trình giáo dục phổ thông mới, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là một trong 10 năng lực cốt lõi cần phải bồi dưỡng và phát triển cho người học. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là khái niệm mới, được đề cập trong chương trình giáo dục phổ thông mới, do vậy việc làm rõ khái niệm cũng như nghiên cứu khả năng dạy học môn Toán nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là cần thiết. Năng lực giải quyết vấn đề là một trong những năng lực cơ bản cần được phát triển cho học sinh phổ thông hiện nay. Năng lực này bao gồm các năng lực thành phần sau: Khả năng phát hiện và làm rõ vấn đề; đề xuất, lựa chọn giải pháp; thực hiện và đánh giá giải pháp; nhận ra, hình thành và khai thác ý tưởng mới khi giải quyết vấn đề; khả năng tư duy độc lập.Năng lực giải quyết vấn đề được hình thành và phát triển dựa trên các hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề khi học sinh chủ động, tích cực tham gia vào các hoạt động học tập, trải nghiệm. Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua dạy học theo chủ đề “Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân” ở trường phổ thông hiện nay còn chưa nhiều, khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết các bài toán thực tiễn cuộc sống chưa nhiều, hiệu quả chưa cao, việc tạo liên kết, tích hợp môn học giữa toán và các môn học khác chưa nhiều. Xây dựng hệ thống bài tập nhằm bổ trợ và phát triển kiến thức đã học giúp học sinh học tập tích cực, lĩnh hội và tiếp thu kiến thức chủ động và sáng tạo. Hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng trong dạy học nói chung và bộ môn Toán nói riêng. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu và tìm hiểu thực trạng dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông từ đó đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua dạy học theo chủ đề dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân. III. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh lớp 11, lớp 12; Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT IV. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Khảo sát thực trạng, lập bảng biểu so sánh, đánh giá, trắc nghiệm khách quan, ý kiến đóng góp của thầy cô, học sinh, sử dụng các tài liệu tham khảo. 1
PHẦN B . NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN 1. Thuận lợi: Linh hoạt cho tất cả các đối tượng học sinh, loại bỏ sự bất bình đẳng trong quá trình học tập, học sinh chủ động và lĩnh hội kiến thức chủ động, biết vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống. 2. Khó khăn: Đổi mới phương pháp ở nhà trường chưa mang lại hiệu quả cao, giáo viên còn ngại đổi mới phương pháp, số giáo viên thường xuyên chủ động, sáng tạo, phát huy phương pháp dạy học tích cực chưa nhiều. II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Do thói quen thụ động trong quá trình dạy và học. Sĩ số học sinh trong lớp còn đông, cơ sở vật chất chưa đáp ứng cho phương pháp dạy học tích cực. Dạy học vẫn nặng về truyền thụ kiến thức, việc rèn luyện kỹ năng chưa quan tâm nhiều. Hoạt động kiểm tra đánh giá mang tính tái hiện kiến thức, chú trọng đánh giá cuối kỳ chưa chú trọng đánh giá quá trình. Việc vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tiễn cuộc sống chưa nhiều. Phương pháp và kỹ thuật dạy học tích cực còn mang tính hình thức chưa có hiệu quả. III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI Đề tài có tính ứng dụng cao, với cách xây dựng của đề tài có thể vận dụng cho các chủ đề khác của môn toán, kết hợp với môn học khác xây dựng chủ đề dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo ở học sinh khả thi. IV.CƠ SỞ KHOA HỌC 1) Năng lực, năng lực toán học Năng lưc: Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuốc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. Năng lực toán học (Mathematical competence) là một loại hình năng lực đặc thù, gắn liền với môn học. Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học, Hiệp hội Toán học Mỹ (NCTM) mô tả: Năng lực toán học là cách thức nắm bắt và sử dụng nội dung kiến thức toán. 2) Khái niện năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết những tình huống vấn đề mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường. 2
Năng lực sáng tạo là khả năng tạo ra cái mới có giá trị của cá nhân dựa trên tổhợp các phẩm chất độc đáo của cá nhân đó. 3) Dạy học theo hƣớng tiếp cận phát triển năng lực Giáo dục theo hướng tiếp cận năng lực là lấy năng lực làm cơ sở để tổ chức chương trình và thiết kế nội dung học tập. Điều này có nghĩa năng lực của học sinh sẽ là kết quả cuối cùng cần đạt của quá trình dạy học. Nói cách khác, thành phần cuối cùng và cơ bản của mục tiêu giáo dục là các sản phẩm và năng lực của người học, năng lực được coi là điểm xuất phát đồng thời là sự cụ thể hóa của mục tiêu giáo dục. Muốn có năng lực, học sinh phải học tập và rèn luyện trong hoạt động và bằng hoạt động. Mặt khác các năng lực được hình thành trong quá trình dạy học và không chỉ ở nhà trường mà dưới tác động của gia đình, xã hội, của chính trị, tôn giáo, văn hóa,… Lấy người học làm trung tâm, chú ý tới mỗi cá nhân học sinh, giúp họ tự tìm tòi, khám phá làm chủ tri thức và vận dụng vào giải quyết các tình huống thực tế cuộc sống, qua đố rút ra kinh nghiệm và tri thức cho bản thân mình. Kết quả đầu ra của người học, những gì người học làm được sau khi kết thúc chương trình học hoặc kết thúc bài học, nhấn mạnh đến khả năng thực tế của học sinh. Cách học, yếu tố tự học của người học. Thay vì lối dạy truyền thống thầy giảng trò nghe có thể tổ chức cho cá nhân tự học, học theo nhóm, học theo sở thích và mối quan tâm riêng của người học. Giáo viên là người thiết kế, tổ chức và hướng dẫn học sinh tích cực, tự lực thực hiện các nhiệm vụ học tập. Môi trường dạy học phải tạo điều kiện tương tác tích cực giữa học sinh với học sinh, giữa giáo viên và học sinh, thúc đẩy và tạo cho học sinh hiện thực hóa năng lực của mình thông qua quan sát, tìm tòi, khám phá, sáng tạo. 4) Đặc điểm và yêu cầu dạy học môn Toán theo hƣớng tiếp cận phát triển năng lực. Năng lực toán học không chỉ bao hàm kiến thức, kỹ năng, kĩ xảo, mà còn cả động cơ, thái độ, hứng thú và niềm tin trong học toán. Muốn có năng lực toán học học sinh phải rèn luyện, thực hành, trải nghiệm trong học tập môn toán. Nhấn mạnh đến kết quả đầu ra, dựa trên những gì người học làm được(có tính đến khả năng thực tế của học sinh). Khuyến khích người học tìm tòi, khám phá tri thức toán học và vận dụng vào thực tiễn. Nhấn mạnh đến cách học, yếu tố tự học của người học. Giáo viên chỉ là người hướng dẫn và thiết kế, còn học sinh phải tự xây dựng kiến thức và hiểu biết toán học của riêng mình. 3
Xây dựng môi trường dạy học tương tác tích cực. Phối hợp các hoạt động tương tác của học sinh giữa các cá nhân, cặp đôi, nhóm hoặc hoạt động chung cả lớp và hoạt động tương tác giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học môn toán. Khuyến khích việc ứng dụng công nghệ thông tin, thiết bị dạy học môn toán nhằm tối ưu hóa việc phát huy năng lực của người học. Trước hết cần xác định các yêu cầu về năng lực toán học mà người học cần phải có trong quá trình học tập ở trường và để hoạt động hữu ích, có hiệu quả trong thực tế đời sống. Khi xác định các yếu tố của quá trình dạy học như: Mục tiêu dạy học, phạm vi và nội dung dạy học, phương pháp và hình thức tổ chức dạy học, cách thức đánh giá kết quả học tập đều phải được đối chiếu với các yêu cầu của năng lực toán học cần hình thành và phát triển ở học sinh và cái đích cuối cùng là phải hình thành được năng lực học tập môn toán ở các em. Chọn lựa và tổ chức nội dung dạy học không chỉ dựa vào tính hệ thống, logic của khoa học toán học mà ưu tiên những nội dung phù hợp trình độ nhận thức của học sinh trung học phổ thông, thiết thực với đời sống thực tế, hoặc có tính chất tích hợp liên môn, góp phần giúp học sinh hình thành, rèn luyện và làm chủ các kỹ năng sống. Các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học dựa trên cơ sở tổ chức các hoạt động trải nghiệm, khám phá phát hiện, học tập độc lập, tích cực, tự học có hướng dẫn của học sinh (thay đổi lối học của học sinh). Tạo môi trường dạy học tương tác tích cực. Tăng thực hành vận dụng, gắn kết giữa nội dung dạy học với đời sống thực tiễn của học sinh, cộng đồng. Chú trọng khai thác và sử dụng kinh nghiệm của học sinh trong đời sống hằng ngày. Tập trung vào đánh giá sự phát triển năng lực học tập môn toán của người học bằng nhiều hình thức: Tự đánh giá, đánh giá thường xuyên, đánh giá định kỳ, đánh giá thông qua sản phẩm của học sinh,…. Tăng cường quan sát, nhận xét cụ thể bằng lời, động viên, giúp học sinh tự tin, hứng thú, tiến bộ trong học tập môn Toán. Tăng cường sự gắn kết giữa nhà trường và gia đình cũng là yếu tố quan trọng thúc đẩy sự phát triển năng lực học tập môn toán của học sinh. Việc hình thành và phát triển năng lực đòi hỏi sự vận dụng phối hợp các kiến thức, kỹ năng, …nên khi xây dựng chương trình hoặc thiết kế bài học môn toán, cần chú ý tới tính tổng thể, tính tích hợp, liên môn. Logic khoa học toán học không phải là yếu tố duy nhất chi phối việc tổ chức nội dung chương trình môn Toán và nội dung bài học môn Toán. Không đặt vấn đề chú trọng tới việc cung cấp nhiều kiến thức toán học thuần túy mà chú ý lựa chọn, tổ chức các nội dung học toán một cách hợp lý, tạo cơ sở cho việc phát triển các năng lực của học sinh. 4
Cần đổi mới cách quản lý linh hoạt trong việc thực hiện chương trình dạy học. Chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực không quy định nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình dạy học, trên cơ sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học. V. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1) Định hƣớng dạy học theo hƣớng phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo 1.1. Hoạt động trải nghiệm (khởi động) Để nhận thức được về một đối tượng, một sự việc hay một vấn đề nào đó, người học phải dựa trên vốn kiến thức , vốn kinh nghiệm đã có từ trước. Giáo viên cần tạo ra các tình huống gởi vấn đề để học sinh trải nghiệm bằng cách huy động các kiến thức và kinh nghiệm thực tiễn để suy nghĩ, biến đổi đối tượng hoạt động, tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Hoạt động trải nghiệm được thiết kế dựa trên mục tiêu bài học và những kiến thức đã có của học sinh. Hoạt động trải nghiện sẽ giúp học sinh có hứng thú trong học tập, thôi thúc học sinh khám phá, tìm hiểu kiến thức mới. 1.2. Hoạt động phân tích, khám phá Qua hoạt động trải nghiệm học sinh phần nào đã tiếp cận kiến thức của bài học, do đó hoạt động phân tích rút ra bài học cần phải được thiết kế với hình thức tổ chức học tập phong phú giúp học sinh biết huy động kiến thức, chia sẽ và hợp tác trong học tập để thu nhận kiến thức mới, giáo viên là người chuẩn hóa lại kiến thức cho học sinh để rút ra bài học. 1.3. Hoạt động thực hành, luyện tập Hoạt động này cần được thiết kế sao cho mỗi học sinh đều tự mình giải quyết vấn đề rồi chia sẽ với bạn bè về cách giải quyết vấn đề. Khi thiết kế vấn đề này giáo viên cần xác định những thuận lợi khó khăn của học sinh, dự kiến những những tình huống học sinh cần sự trợ giúp trong học tập. Hoạt động này giúp học sinh cùng củng cố kiến thức vừa học và huy động, liên kết với kiến thức đã có để thực hiện giải quyết vấn đề. Giáo viên cần tổ chức hoạt động học tập phong phú để tránh sự nhàm chán cho học sinh. 1.4. Hoạt động vận dụng kiến thức, kỹ năng vào thực tiễn Mục đích của hoạt động này là giúp học sinh vận dụng kiến thức, kỹ năng, thái độ đã được tích lũy từ quá trình học tập môn Toán và những kinh nghiệm bản thân vào giải quyết vấn đề trong thực tiễn học tập hoặc trong cuộc sống một cách sáng tạo; phát triển cho học sinh năng lực tổ chức và quản lý hoạt động, năng lực tự nhận thức và tích cực hóa bản thân. Giáo viên hướng dẫn học sinh kết nối, sắp 5
xếp, vận dụng các kiến thức, kỹ năng đã học để giải quyết vấn đề đặt ra. Giáo viên cũng có thể đưa ra yêu cầu, dự án học tập để học sinh thực hiện theo cá nhân, theo nhóm. Tóm lại dạy học môn Toán theo hướng tiếp cận phát triển năng lực là cách tổ chức quá trình dạy học thông qua các chuổi các hoạt động học tập tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh với sự hợp tác của bạn học và sự hướng dẫn, trợ giúp của giáo viên, hướng đến mục tiêu hình thành và phát triển năng lực toán học. 2) Dạy học theo chủ đề dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Dạy học theo chủ đề là hình thức tìm tòi những khái niệm, tư tưởng, đơn vị kiến thức, nội dung bài học, chủ đề, … có sự giao thoa, tương đồng lẫn nhau, dựa trên mối liên hệ về lý luận và thực tiễn được đề cập trong các môn học thành một chủ đề; nhờ đó học sinh được hoạt động nhiều hơn để khám phá kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Trong quá trình dạy học theo chủ đề, giáo viên không chỉ sử dụng các phương pháp dạy học truyền thống mà chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự lực tìm kiếm thông tin, sử dụng kiến thức vào giải quyết các nhiệm vụ học tập. Các chủ đề dạy học thường có tính tổng quát, liên quan đến nhiều lĩnh vực, có nội dung tích hợp các vấn đề gắn với thực tiễn. Học sinh có nhiều cơ hội làm việc theo nhóm, thu thập thông tin từ các nguồn tài liệu. Một trong những yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông mới là phát triển năng lực của học sinh. Năng lực chỉ có thể phát triển thông qua hoạt động. Thông qua các chủ đề dạy học, giáo viên kết nối các kiến thức nhằm hình thành, phát triển năng lực cho học sinh. Dạy học theo chủ đề “Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân” có vai trò và vị trí quan trọng trong chương trình bộ môn Toán, là kết nối, liên kết các kiến thức, củng cố, bổ sung và phát triển kiến thức cho nhau, đồng thời làm tiền đề để dạy bài học mới của bài học sau này bài “Giới hạn hàm số”. Việc kết hợp các bài học “Chứng minh quy nạp, dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân” thành chủ đề cũng tạo không gian và thời gian cho học sinh hoạt động, biết ứng dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh. 6
Chủ đề 1: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua các bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy số Xác định công thức tổng quát của một dãy số là dạng toán phổ biến trong chương trình toán phổ thông, thông qua các bài toán nhằm định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh. Bài toán 1: Cho dãy số (un) thoản mãn un  1 1 1 u1  1, un 1   un  (*) , n  1 . Tìm công thức tổng quát của dãy (un). 2 2 2 Hƣớng dẫn giải Bước 1: Tổ chức hoạt động trải nghiệm + Tính u1, u2, u3 u4. Phát hiện quy luật của dãy Bước 2: Phân tích khám phá + Phán đoán, suy luận tìm ra số hạng tổng quát Bước 3: Thực hành luyện tập u1  1 u 1 3 u 1 5 Ta có u2   2; u3  2  ; u4  3  , ta tìm quan hệ giữa các u1; u2, 2 2 2 2 4 u3, u4, nhận thấy quy luật, suy đoán nào ? 1 3 1 5 1 u2  2  1  0 ; u3   1  ; u4   1  2 , từ đó nhận xét un 2 2 2 4 2 1 1 Ta có un  1  n2 , chứng minh bằng quy nạp ta có kết quả un  1  n2 2 2 Hƣớng dẫn giải khác - Giáo viên đặt câu hỏi để học sinh tìm tòi, phân tích mối liên hệ của các yếu tố của bài toán, xác định cách giải khác Từ công thức 1 1 1 1 1 1 1 1 un  un 1  ; un 1  un  2  ; un  2  un 3  ,...u2  u1  2 2 2 2 2 2 2 2 1 Nhân vào hai vế từ un-1 đến u2 rồi cộng theo hai vế ta có 2 1 1 1 1 1 1 un  (1   2  ...  n  2 )  n 1 .u1  1  n 2 2 2 2 2 2 2 Bây giờ thay đổi chút dự kiện của biểu thức (*) ở bài toán 1, xét bài toán sau. 7
Bài toán 2: Cho dãy số (un) thoản mãn u1 = 1 và un+1 = 3un+2n-1 (*) Tìm công thức tổng quát của dãy (un). Hƣớng dẫn giải Bước 1: Hoạt động trải nghiệm + Tính u1, u2, u3, u4; phát hiện quy luật của dãy. Tìm mối liên hệ của các yếu tố trong hệ thức (*), cấp số nhân Bước 2: Phân tích khám phá + Từ các u1, u2, u3, u4 chỉ ra quan hệ có tính quy luật của chúng + Dự đoán số hạng tổng quát un. Sử dụng cấp số nhân Bước 3: Thực hành luyện tập Ta có u1=1, u2 = 3u1+1 = 4; u3=3u2+3 = 15; tìm quan hệ giữa u1, u2, u3, … u1  1  2.30  1; u2  4  2.31  2; u3  15  2.32  3 , dự đoán un  2.3n 1  n , chứng minh bằng quy nạp ta có kết quả. Hƣớng dẫn giải khác + Giáo viên đặt câu hỏi để học sinh tìm tòi, phân tích mối quan hệ của các yếu tố của dự kiện bài toán, sử dụng cấp số nhân Từ un+1+ n+1 = 3(un+n); đặt vn = un+ n; ta có vn+1 = 3vn; vậy vn là cấp số nhân công bội q = 3, vn = v1.qn-1= 2.3n-1; vậy un = 2.3n - 1 - n. Giáo viên hƣớng dẫn học sinh giải bài tập tƣơng tự, sử dụng cấp số nhân.  Bài toán 3: Cho dãy số (un) có u1 = -7, un+1 = 5un -12 với n  . Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un). Hƣớng dẫn: un 1  5un  12  un 1  3  5  un  3 Đặt vn  un  3  vn 1  5vn  vn  v1.q n1  10.5n1  un  2.5n  3 Giáo viên tiếp tục gởi mở, tạo tình huống có vấn đề, từ bài toán 1, bài toán 2, xét bài toán tổng quát. Bài toán 4: Tổng quát ta có bài toán cho dãy số (un) xác định bởi u1 = c và un+1 = qun + an +b (*), trong đó q, a,b, c là hằng số đã xác định. Tìm công thức tổng quát của dãy (un). 8
Hƣớng dẫn giải: Nhận thấy quan hệ giữa un, và un+1, ta đặt un  p.q n   n   , từ hệ thức (*) ta có n  q    a   q    b    0 n , với q,a,b ta xác định được,  ,  , từ u1 = c, ta xác định được p, vậy bài toán đã được giải quyết. Trở lại bài toán 2, nếu thay un+1 = 4un + 2n – 1, xét bài toán sau. Bài toán 5: Cho dãy số (un) thoản mãn u1=1 và un+1 = 4un+2n-1 (*) Tìm công thức tổng quát của dãy (un). Hƣớng dẫn giải: + Nếu giải như cách thông thường rất khó tìm ra un; vậy ta giải theo hướng bài toán tổng quát. + Đặt un = p.4n + an + b; từ hệ thức (*) ta có n(3a + 2) + 3b – 1 = 0 với mọi 2 1 1 1 2 1 n, tìm được a   ; b  , từ u1 = 1, ta có p  ; un  .4n  n  3 3 3 3 3 3 Tiếp tục đặt tình huống có vấn đề là vế phải của bài toán 5 thay đổi dự kiện un+1 = qun + an +b bởi un 1  4.un  3.4n ta xét bài toán sau. Bài toán 5: Cho dãy số (un) thoản mãn  u1  2, un 1  4.un  3.4n (*), n  . Tìm công thức tổng quát của dãy (un). Hƣớng dẫn giải Bước 1: Hoạt động trãi nghiệm + Viết dạng khai triển un, un-1, un-2, …u2 Bước 2: Phân tích và khám phá + Nhận thấy từ hệ thức khai triển nếu nhân với 4,42, …4n-2, cộng theo vế của các khai triển. Bước 3: Thực hành và luyện tập + Từ un+1= 4un+3.4n . Ta có un= 4un-1+3.4n-1; un-1= 4un-2+3.4n-2, ….u2 = 4.u1 + 3.4 (1). Công theo vế của đẳng thức (1) theo vế ta có un= 4n-1(3n-1). Hƣớng dẫn cách giải khác Từ quan hệ un+1 và un, ta đặt un = 4n(an + b), từ hệ thức (*) ta có 3 1 4n(4a – 3) = 0 với mọi n, a  , từ u1 = 1, ta có b   , vây un = 4n-1(3n-1) 4 4 Đặt vấn đề trong bài toán 5 thì 4 và 4n, có chung số 4, thay đổi dự kiện xét bài toán sau. 9
Bài toán 6: Cho dãy số (un) thoản mãn 1 u1  , un 1  3.un  2n 1 n   . Tìm công thức tổng quát của dãy (un). 5 Hƣớng dẫn giải: Hoàn toàn tương tự như bài toán 5, tuy nhiên điểm đặc biệt là hệ số gắn với un và số mũ khác nhau. un  3un 1  2n  2 ; un 1  3un  2  2n 3 ; un  2  3un 3  2n  4 ,....u2  3u1  20 Nhân hai vế của đẳng thức trên với -3, (-3)2, … (-3)n-2; sau đó cộng theo vế, ta có 1  3  2 n 1n 1 2n 1 un   3   3 n 1 n2 n 3 n4 n2 n 1 u1  2 2 (3)  2 (3)  ...  2 (3) 2 0   5 3  2 5 2n 1 un  5 Từ các bài toán 5,6 trên mở rộng ta có bài toán tổng quát sau. Bài toán 7: Cho dãy số (un) được xác định bởi un+1 = q.un+h.rn-1 (q,h, r là hằng số xác định cho trước) khi đó ta có kết quả sau 1) Nếu r = q thì n  2 ta có un  q n 1.u1   n  1 q n 2 .h. q n 1  r n 1 2) Nếu r  q, un  q n1.u1  h. qr Giáo viên hướng dẫn học sinh tự chứng minh Như vậy trên ta xét un 1  q.un  an  b , un 1  q.un  a. n , bây giờ ta xét dạng aun  b un 1  tạo tình huống có vấn đề, xét bài toán sau cun  d Bài toán 8 (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi lớp 11 năm học 2018 - 2019) Cho dãy số (un) thoản mãn 2un u1  1, un 1  (*), n  1 . Tìm công thức tổng quát của dãy (un). un  4 Hƣớng dẫn giải Bước 1: Hoạt động trải nghiệm 1 + Từ mối quan hệ có trong biểu thức (*), Từ un+1; xét un1 Bước 2: Phân tích và khám phá + Chuyển bài toán đã cho về bài toán quen thuộc, đã biết 10
Bước 3: Thực hành và luyện tập 1 1 2 1 + Nếu nghịch đảo của hai vế ta có kết quả   nếu đặt  vn ta có un 1 2 un un 1 vn 1  2vn  khi đó áp dụng cách giải bài toán 2 ta có kết quả. 2 Tiếp tục thay đổi vế phải của bài toán 8, nhằm tạo tình huống có vấn đề mới, xét bài toán sau. Bài toán 9: Cho dãy số (un) thoản mãn (*), n  1 . Tìm công thức tổng quát của dãy (un). 2 un u1  , un 1  3 2(2n  1)un  1 1 Hƣớng dẫn giải: Hoàn toàn tương tự như bài toán 8, ta đảo un1 thành un1 un u u 1 1 Ta có un1   2  2n  1  n n 1   2(2n  1)un  1 un .un 1 un 1 un 1 Đặt vn   vn 1  vn  4n  2 áp dụng cách làm tương tự bài toán 2 ta có un 1 2 un  u1  2n(n  1)  2(n  1)  2n 2   un  2 2 4n  1 Với ý tưởng tạo ra sự thay đổi bài toán nhằm phát huy năng lực giải quyết vấn đề, sáng tạo của học sinh, thay đổi dự kiện bài toán 9, xét bài toán sau. Bài toán 11: Cho dãy số (un) thoản mãn 2un  1  u0  2, un 1  (*) n  , tìm công thức tổng quát của dãy số (un). un  2 1 1 Hƣớng dẫn giải: Nhằm tạo ra quan hệ giữa   m  an  b  un 1   un   2un  1 u 1 1 3 1 un 1  1  1  n ; xét  1 , đặt  vn  vn 1  3vn  1 un  2 un  2 un 1  1 un  1 un  1 2 Áp dụng cách giải như bài toán 8, ta có kết quả un  1  n 1 3 1 Bài toán 12: Cho dãy số (un) thoản mãn 3un  4  u0  2, un 1  (*), n  , tìm công thức tổng quát của dãy số (un). un  3 un  2 1 5 Hƣớng dẫn giải: Xét un1  2    1 , un  3 un 1  2 un  2 11
1 đặt vn   vn 1  5vn  1 , giải tương tự như bài toán 11 ta có kết quả. un  2 Bài toán 13: Cho dãy số (un) thoản mãn aun  b u0  c, un 1  (*) n   . Tìm công thức tổng quát của dãy số (un). un  a aun  b Hƣớng dẫn giải: Từ hệ thức un1  , un  a aun  b u (a   )  b  a ta xét un 1      n ,khi đó ta có thể chọn un  a un  a a    1 1 u a a    b   2 , khi đó ta xét  n  1 , b  a   un 1   un   un   1 đặt  vn  vn 1  (a   )vn  1 , áp dụng cách giải như bài toán trên ta có un   kết quả. Với ý tƣởng phát triển năng lực giải quyết vấn đề, sáng tạo bằng cách tạo sự thay đổi dự kiện bài toán cũ làm xuất hiện bài toán mới, chuyển lạ thành quen. Bài toán 14: Cho dãy số (un) thoản mãn 2un u1  1, un 1  (*) n  1 . Tìm công thức tổng quát của dãy số (un) 2. un  3 n Hƣớng dẫn giải: 1 3 Từ biểu thức (*) ta có   2n un 1 un 1 Đặt vn   vn 1  3.vn  2n . Áp dụng cách giải bài toán 5, ta có kết quả un Tương tự bài toán 14, hướng dẫn học sinh giải bài toán sau. Bài toán 15: Cho dãy số (un) thoản mãn un 1 u1  1, un  (*) n  2 . Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un). 1  5n.un 1 Hƣớng dẫn giải: un 1 1 1 1 Từ un  , ta có   5n , khi đó đặt vn  , ta có 1  5n.un 1 un un 1 un 12
vn  vn 1  5n , vn   vn – vn 1    vn 1  vn  2    v2  v1   v1  5n  5n 1  52  1 = 5n  5n 1   52  5  1  5, 5n 1  1 5n 1  21 4  vn  5   un  n 1 4 4 5  21 Khai thác, vận dụng, phát triển tƣ duy hàm số, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của dãy số Rèn luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập tương ứng giữa các đối tượng toán học, gợi động cơ học tập sao cho học sinh biểu diễn và hiểu được việc vận dụng thiết lập mối quan hệ hàm số trong quá trình giải toán. Xét ví dụ minh họa sau Bài toán 16: Cho dãy số (un) thoản mãn n 2  5n  4 u1  2018, u n 1 = u n (*)n  1 . Tìm công thức tổng quát của dãy (un). 3n 2 +9n Hƣớng dẫn giải Bước 1: Hoạt động trải nghiệm + Viết biểu thức (*) dưới dạng un1. f  n  1   un f  n  Bước 2. Phân tích và khám phá - Đặt vn  un f  n   vn 1   vn , cấp số nhân công bội , số hạng đầu v1 tìm được vn, tìm được un Bước 3. Thực hành và luyện tập 1  n  1  3(n  1) 2 n2  5n  4 un 1 1 1 Ta có: un1  .un  .un   . 2 .un 3n  9n n  3n  n  1  3(n  1) 3 n  3n 2 2 2 3 n 1 n 1 1009  1  1009  1  u n  3n 1 đặt vn  2 n  vn1  vn  vn  3   2 3  un    2 3 n 2  3n  Bài toán 17: Cho dãy số (un) thoản mãn n  un  2   n 2  1 Tìm công thức tổng quát của dãy (un). u1  1, u n 1 = (*), n  n 1 Hƣớng dẫn giải + Chuyển biểu thức (*) về dạng a  n  1 un 1  b.n.un  c. f  n  + Từ biểu thức (*) ta có  n  1 un1  n.un   n  1 , 2 đặt vn  n.un , ta có vn 1  vn   n  1  vn  vn 1  n 2 , vn 1  vn 2  (n  1)2 ,...v2  v1  22 2 13
n  n+1 2n+1 v n = n 2 +  n-1 +  n-2  +....+ 32 + 22 + 11 = 2 2 6 Bài toán 18: Cho dãy số (un) thoản mãn 2  n  1 un 1 2n  Tìm công thức tổng quát dãy (un). u1  1, u n = + (*) n   n  n  1  1 2 n 2 Hƣớng dẫn giải Bước 1: Hoạt động trải nghiệm un 1  n  1  f (n  1)   (un n  f  n   Bước 2: Phân tích khám phá Đặt vn  n.un  f  n  , khi đó vn 1   vn , vn là cấp số nhân, tìm được vn Bước 3: Thực hành và luyện tập Ta có  n  1  1  2  n2  1  n  1  1  2  n 2  1 2 2 2n  n 2 n.un  2  n  1 un 1    n 1 n 1 n  1  2n(n 2  1)  n 2  1 n  1  n  1  1 2 2 2 2 2 2   1 2 1  1     n.u   2   n  1 u   n 2  1  n  12  1  n  1  1  n2  1 n n 1 2  n Đặt vn  n.un  2  vn1  vn  vn     un   n  2  1 1 1 1 1 1 n 1 2 2  2 n 1  n Vận dụng tư duy hàm số, kết hợp cấp số nhân giáo viên hướng dẫn học sinh một số bài tập sau. Bài toán 19: Cho dãy số (un) được xác định bởi 1 n2  n  2 u1  5, u n 1  un  3 ; n  1 , tìm công thức tổng quát của dãy số (un). 2 n  3n 2  2n Bài toán 20: Cho dãy số (un) được xác định bởi 2un 1 un  n 2  n  2 u1  12,  ; n  1 ,tìm công thức tổng quát của dãy số (un). n 2  5n  6 n2  n Tiếp tục khai thác cấp số nhân trong việc tìm số hạng tổng quát của dãy số, xét bài toán sau 14
1 Bài toán 21: Cho dãy số (un) thoản mãn u1  1 và un  2   un 1  un  với n  1 2 Tìm công thức tổng quát của dãy (un). Hƣớng dẫn giải Bước 1: Hoạt động trải nghiệm + Khai thác và tìm quan hệ trong biểu thức (*), sử dụng cấp số nhân Bước 2: Phân tích, khám phá + Từ biểu thức (*) biến đổi định hướng theo un  2  un 1    un 1  un 2  Bước 3: Thực hành và luyện tập 1 Từ biểu thức (*) ta có 2  un  2  un 1     un 1  un  , đặt vn  un1  un , vn1   vn 2 n  1 4  2   Ta có kết quả vn   2 u  3 n n 1 3  1 2   2 Hoàn toàn tương tự, hướng dẫn học sinh giải toán sau. Bài toán 22: Cho dãy  un  xác định bởi a) u1  2, u2  3 và un  3un1  2un2 , n  3 b) u1  2, u2  3 và un  6un1  9un2 , n  3 c) u1  2, u2  5 và un2  5un1  6un , n  1 Tìm công thức tổng quát của dãy số (un). Chủ đề 2: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua các bài toán xét tính đơn điệu, tìm giới hạn, chứng minh dãy số thỏa mãn một số tính chất cho trƣớc 1) Khai thác và sử dụng giới hạn cơ bản, quen biết 1 Bài toán 1: Từ giới hạn cơ bản đã học, lim  0; limq n , q  1 , tìm giới hạn của n n n2 n! nk  lim (q>1); lim ; (q > 1); lim ; lim (k  ). qn qn nn qn Hƣớng dẫn giải n n n 1  1  ...  1 1 1 Ta có lim n  lim n  lim    ...     0  q  1 q q q q 15
n2 n.n n n lim n  lim n  lim . 0 q q ( q ) ( q )n n n! 1.2...n n ! 1.2...n 1 1 n! lim n  lim ; n   ;lim  0  lim n  0 n n.n...n n n.n...n n n n 2) Tìm giới hạn của dãy số, từ việc xác định số hạng tổng quát của dãy sô đó Xét ví dụ sau Bài toán 2: Cho dãy số (un) thoản mãn n 2  5n  4 3n u1  2018, u n 1 = u n (*), n  1 . Tìm giới hạn lim 2 .un . 3n 2 +9n n Định hƣớng giải: Để tìm được giới hạn trên ta có thể tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) trước. Từ việc xác định công thức tổng quát của dãy, từ kết quả bài toán 16, phần 1, ta có n 1 1009  1  3n  3  3027 un    2 3 n 2  3n   lim n 2 .un  3027 2 lim 1     n 2 Bài toán 3: Cho dãy số (un) thoản mãn 1 n2  n  2 u1  5; u n 1  un  3 (*); n  1 . Tìm lim(n.un ). 2 n  3n  2n Định hƣớng giải: Trước hết ta tìm số hạng tổng quát (un) Vận dụng tư duy hàm số: un 1  f  n  1    un  f  n   vào biểu thức (*) 1 2 1 2 1 2 Từ (*) ta có u n1  un  -  u n 1   (un  ) , 2 n 1 n n 1 2 n 2 1 đặt vn  un  ; vn 1  vn , (vn) là cấp số nhân, n 2 1 3 3 2 v1  3, q  , vn  n 1  un  n 1  2 2 2 n 3n lim(n.un )  lim  2  2 (áp dụng kết quả bài toán 1 phần trên) 2n 1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán sau. 16
Bài toán 4: Cho dãy số (un) thỏa mãn u1  2, u2  4; u n2 - 2u n1 + u n - 2 = 0 , n  3 . Tìm lim n  un  3n  2  2 un  2n  2  n . 3) Tìm giới hạn dãy số thông qua việc đánh giá, sử dụng sai phân + Nếu un  vn , n  * , lim vn  0  lim un  0 + un  L  q. un 1  L ,.... q  1 n n n n 1 1 1   k  xk 1  xk    k   ( xk 1  xk )  xn 1  x1;    (  ) k 1 k 1 k 1 xk   k 1 xk   xk 1   Bài toán 5: Cho dãy số (un) xác định bởi u1  3, un 1  un , n  1 . Tìm limun. Hƣớng dẫn giải: Ta chứng minh bằng quy nạp, un > 1, với mọi n un  1 1 Ta có un1  1  un  1    un  1 un  1 2 1 1 1 1 0  un  1   un1  1  2  un2  1  ...  n1  u1  1  n2 2 2 2 2 1 Vì lim lim n2  0  lim(u n  1)  0, lim un  1 2 Bài toán 6: Cho dãy số (xn) được xác định như sau: x1  3, xn 1  xn2  3xn  4 a) Chứng minh rằng (xn) là một dãy không bị chặn trên. 1 1 1 b) Xét dãy (yn) xác định bởi yn    ...  , tìm limyn. x1  1 x2  1 xn  1 Hƣớng dẫn giải: Sử dụng phương pháp sai phân a) Nhận thấy x1  3, x2  4, x3  8 , cần chứng minh xn  n  2 . Ta chứng minh bằng quy nạp xn  n  2 Thật vậy: Với n = 1 bất đẳng thức luôn đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, xk 1  xk ( xk  3)  4   k  2  (k  1)  4  k  3 , vậy dãy số không bị chặn trên b) Để sử dụng phương pháp sai phân ta xét sao cho xuất hiện: x1 – 1, x2 – 1,,, xn – 1, muốn vậy xét xn1  2  xn2  3xn  2   xn  1 xn  2  17
1 1 1 1 1 1 1 Ta có       xk 1  2  xk  1 xk  2  xk  2 xk  1 xk  1 xk  2 xk 1  2 cộng các đẳng thức trên với k = 1,2,…n, 1 1 1 1 1 1 ta có yn    1 ; 0   lim  0 , limyn = 1. x1  1 xn 1  2 xn 1  2 xn 1  2 n xn 1  2 Ta thay đổi chút giả thiết bài toán, xét bài toán sau Bài toán 7: Cho dãy số (xn) được xác định như sau: x1  1, xn 1  xn2  3xn  1 1 1 1 Xét dãy (yn) xác định bởi yn    ...  . Tìm limyn. x1  2 x2  2 xn  2 Hƣớng dẫn giải: Sử dụng phương pháp sai phân Ta làm xuất hiện: x1  2; x2  2,...xn  2 , muốn vậy từ xn 1  xn2  3xn  1  xn 1  1  xn2  3xn  2   xn  1 xn  2  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     yn    ...      xn  2 xn  1 xn 1  1 x1  2 x2  2 xn  2 x1  1 xn 1  1 2 xn 1  1 Mặt khác x1  1, x2  5  3 ; x3  5  3.5  1  3 1 2 2 1 Ta chứng minh bằng quy nạp: xn+1 > 3n, lim xn   , ta có lim yn  . 2 Bài toán 8: Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Thành phố Hà Nội 2020 - 2021 1 9 Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1  6, u n1  un2  2un  , n = 1,2,.... 2 2 a) Chứng minh dãy số (un) là dãy số tăng. 1 1 1 1 b) Chứng minh   ...   . u1  1 u2  1 u2020  1 3 Hƣớng dẫn: a) Ta có un 1  un  2  1 2 un  6un  9    un  3  0 1 2 2 Ta có u1 = 6 > 3, giả sử un > 3, ta chứng minh un+1 > 3, thậy vậy un 1  3  2  1 2 un  4un  3   u1  1 un  3  0  un 1  3 1 2 18
b) Sử dụng phương pháp sai phân, xuất hiện u1 -1, u2 – 1, …xét 1 9 1 u n 1  3  un2  2un  - 3 =  un  1 un  3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1        un 1  3  un  3 un  1 un  3 un  1 un  1 un  3 un 1  3 1 1 1 1 1 1 u2021  3    ...     u1  1 u2  1 u2020  1 u1  1 u2021  3 3 4) Chứng minh dãy số khi thỏa mãn một số điều kiện cho trƣớc Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học, kết hợp với kiến thức, phương pháp có trong đề tài, nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ở học sinh. Xét một số ví dụ sau un2  4 Bài toán 10: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2, un1  với n  1 . 4 Chứng minh (un) là dãy số không đổi. Hƣớng dẫn: Hoạt động trải nghiệm: Tính u2 , u3, dự đoán un = ? Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, Ta có u2 = 2, dự đoán un = 2, chứng minh bằng quy nạp un21  2 Bài toán 11: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = u2 = 1, un  un  2 với n = 3,4, ..Chứng minh mọi số hạng của dãy (un) là dãy số nguyên. Hƣớng dẫn: Hoạt động trải nghiệm: Tính u3, u4, tìm quan hệ giữa u1, u2, u3, u4. Nhận thấy: u3 = 3, u4 = 11, xét quan hệ u1, u2, u3, u4, …u3 = 4u2 – u1 u4 = 4u3 – u2, dự đoán un = 4un-1 – un-2 . Chứng mimh bằng quy nạp Thật vậy: Giả sử đẳng thức đúng với n = k, uk = 4uk-1-uk-2 cần chứng minh uk+1 = 4uk – uk-1,ta có uk2  2 uk 1   4uk  uk 1  uk2  2  (4uk  uk 1 )uk 1 uk 1   4uk 1  uk  2   2  4uk .uk 1  uk21  4  4uk 1  uk  2  uk 1  uk21 2 uk21  2   4uk 1  uk 2  uk  4uk 1  uk 2 uk  2 19
Vậy theo quy nạp ta có un = 4un-1 – un-2 (*), mà u1, u2 là các số nguyên là các số nguyên và từ (*) do đó un là số nguyên. Bài toán 12 (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An 2020 – 2021)  Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1, un+1 = un2 – 2, n  Chứng minh rằng: 5  u1.u2 ...un1   4 là số chính phương. 2 Hƣớng dẫn chứng minh un 1  2 Cách 1: Từ un1  2  un2  4   un  2 un  2   un  2  un  2 Lập luận tương tự ta có u3  2 2 u 2 u 2 u12  u2  2  ; u2  u3  2  4 ;....un21  un  2  n 1 u2  2 u3  2 un  2 5  un2  4  2 2 5.u .u ....u 2 n 1   4  un2   , ta có u1, u2, ….un-1, un là các số u 4 1 2 2 1 nguyên, bài toán được chứng minh Cách 2: Chứng minh bằng quy nạp toán học Xét với k = 1, ta có S1  5.u12  4  49  7 2  u22 ; giả sử đẳng thức (*) đúng với n = k nghĩa là S k  5.u12 .u22 ....uk21  4 =u k2 , cần chứng Sk+1 là số chính phương. Sk 1  5.u12 .u22 ....uk21.uk2  4 =(u k2  4)uk2  4   uk2  2  2 Bài toán 13: Cho dãy số (un) xác định như sau u1  1, u2  2, nun  2   3n  1 un 1  2  n  1 un  3 n   Chứng minh rằng S=  u1  2  22016  1 chia hết cho 24. 2016 n 1 Hƣớng dẫn chứng minh Từ hệ thức trên ta có n 1 un  2  2un 1   n  1  3   un1  2un  n  3 , n  1, 2,.... n Đặt vn  un1  2un  n  3  vn1  un2  2un1  (n  1)  3 n 1 n n 1 3 vn 1  vn  vn  vn 1 ; vn 1  vn  2 ,....v3  v2 , v2  2v1 n n 1 n2 2 20