Nâng cấp TK VIP tải tài liệu không giới hạn và tắt QC

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua bài toán ứng dụng hàm số trong hệ phương trình

Mục tiêu nghiên cứu đề tài là phát triển năng lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư duy lập luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán phù hợp. » Xem thêm

28-12-2021 29 1
Download
Xem online
QUẢNG CÁO

Tóm tắt nội dung tài liệu

  1. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI : PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH MÔN : TOÁN Tháng 3 năm 2021
  2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI : PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Môn : Toán Tác giả : Nguyễn Thị Thắng Tổ : Toán –Tin Thực hiện năm: 2020-2021 Số điện thoại : 0973 855 719
  3. MỤC LỤC Trang PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1 I. Lý do chọn đề tài 1 II. Mục đích nghiên cứu 1 III. Đối tượng nghiên cứu 2 IV. Kế hoạch nghiên cứu 2 V. Phương pháp nghiên cứu 2 PHẦN II-NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3 I-Thực trạng vấn đề khi áp dụng 3 II- Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra 3 III-Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả 3 IV-Cơ sở lý luận 3 V-Nội dung đề tài 6 1. Bài toán tổng quát về hệ phương trình sử dụng phương 6 pháp hàm số 2. Bài toán liên quan đến hệ phương trình sử dụng phương 7 pháp hàm số 3. Một số bài toán cụ thể 7 4. Một số bài toán tự luyện 35 I-Những kết luận 41 II-Những kiến nghị đề xuất 41 Danh mục tham khảo 43
  4. PHẦN I-ĐẶT VẤN ĐỀ I-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể : “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình học toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’. Trong quá trình giảng dạy, trải qua nhiều phương pháp dạy học tôi luôn trăn trở làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy và học. Tôi cảm thấy cần làm cho học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo để hình thành và phát triển phẩm chất năng lực trong toán học. Để làm được điều đó mỗi giáo viên cần biết tích lũy chuyên môn về các phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với nhận thức của học sinh. Quán triệt tinh thần “lấy học sinh làm trung tâm” giáo viên hướng dẫn để các em đạt được những năng lực phẩm chất mà yêu cầu đặt ra, phù hợp với từng cá nhân học sinh. Thông qua dạy học nội dung giải hệ phương trình học sinh cần hình thành và phát triển năng lực tư duy lập luận toán học và năng lực giải quyết vấn đề. Trong giải hệ phương trình có một lớp bài toán giải hệ phương trình bằng ứng dụng hàm số là lớp bài toán khó đối với học sinh. Vì vậy, tôi chọn cho đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là: “Phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua bài toán ứng dụng hàm số trong hệ phương trình” II-MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Khai thác những khó khăn và thuận lợi khi gặp bài toán giải hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số và một số bài toán mở rộng tìm tham số để m để hệ có nghiệm, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. Phát triển năng lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư duy lập luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán phù hợp. Rèn luyện phẩm chất chăm chỉ, trung thực và trách nhiệm cho học sinh trong học toán. Đặc biệt giúp học sinh lớp 12 có thêm tài liệu ôn thi tốt nghiệp, đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh và giáo viên có thêm tài liệu tham khảo giảng dạy. 1
  5. III-ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU. Học sinh lớp 12. Giáo viên bậc THPT. IV-KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU. Trong quá trình giảng dạy nhiều lớp và nhiều đối tượng khác nhau, tìm hiểu những khó khăn học sinh gặp phải, trao đổi với các thầy cô cùng chuyên môn trong nhóm toán trên diễn đàn, trong tổ toán của trường . Đề tài được thực hiện trong năm 2020-2021 với kế hoạch cụ thể như sau: TT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm 1 Từ 15/9/2020 Chọn để tài Đăng kí đề tài Đến 18/10/2020 SKKN 2 Từ 19/10/2020 Viết đề cương nghiên cứu Trình duyệt bản đề Đến 10/12/2020 cương SKKN 3 Từ 11/12/2020 Đọc tài liệu lý thuyết viết cơ sở Tập hợp tài liệu lý Đến 28/12/2020 lý thuyết thuyết 4 Từ 29/12/2020 Trao đổi với đồng nghiệp và đề Tập hợp các ý đến 17/2/2021 xuất sáng kiến kiến góp ý của các đồng nghiệp. 5 Từ 18/02/2021 Dạy thử tại các lớp 12 D, 12E, Thống kê các kết đến 6/3/2021 12 B trường THPT Đặng Thúc quả thử nghiệm. Hứa và trường THPT Thanh Chương lân cận. 6 Từ 7/03/2021 Hoàn thiện đề tài nghiên cứu Hoàn thành nộp Đến 9/03/2021 SKKN. V-PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Tìm kiếm tài liệu liên quan đến giải hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số, một số phương pháp dạy học theo chương trình mới phát triển phẩm chất năng lực của học sinh. Trao đổi với giáo viên trong tổ và trong nhóm trên diễn đàn toán học để đề xuất biện pháp thực hiện. 2
  6. Giảng dạy các lớp 12 tại trường THPT Đặng Thúc Hứa và phối hợp với giáo viên môn toán ở các trường THPT trong huyện để dạy thử nghiệm . PHẦN II-NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I-THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG Trường THPT Đặng Thúc Hứa đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình, trung bình khá. Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập hệ phương trình, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi làm toán. Kết quả khảo sát ở một số lớp trong phần giải bài tập toán về phần hệ phương trình cũng như qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn Toán, chỉ có khoảng 10% học sinh chịu khó để ngồi giải các hệ phương trình vô tỷ ở dạng khó. II-KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy: Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học và 50% trong số đó biết cách tìm tòi và xây dựng những bài toán mới từ những bài toán gốc được giáo viên gợi ý hoặc được các em tự tìm tòi. Trong các kỳ thi thử TNTHPT và ĐH trên toàn tỉnh cũng như khảo sát với các đề thi thử trong cả nước, có 80% học sinh ở các lớp trên có thể giải quyết bài toán hệ phương trình ở các đề thi đó và các bài toán liên quan khi mở rộng bài toán giải hệ phương trình ứng dụng hàm số như tìm tham số m để hệ có nghiêm, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. III- KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh đang học khối 12 THPT đang ôn thi TNTHPT , ĐH. Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo cho học sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy môn toán. IV. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1-Phẩm chất, năng lực: Phẩm chất và năng lực là hai thành phần chủ yếu cấu thành nhân cách của con người. Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể: Dạy học theo phát triển phẩm chất năng lực cho học sinh nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện hơn. Phẩm chất : Là sống biết yêu thương, tự chủ trách nhiệm. Biết sống trung thực tự trọng, tự lực, chăm chỉ vượt khó tự hoàn thiện tính chủ động tự tin... 3
  7. Năng lực : Là thuộc tính cá nhân được hình thành và phát triển nhờ tố chất sẵn có và qua quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức ,kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú niềm tin, ý chí,...thực hiện thành công một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. Năng lực toán học là biết tư duy logic, khái quát hóa và nhân rộng đối tượng biết lập công thức, giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực toán học phổ thông là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích suy luận , lập luận, khái quát hóa, trao đổi thông tin hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và phát triển và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động. Năng lực toán học phổ thông không đồng nhất với khả năng tiếp nhận nội dung của chương trình toán trong nhà trường phổ thông truyền thống, mà điều cần nhấn mạnh đó là đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển như thế nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận lập luận khái quát hóa và phát hiện được tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện. 2. Dạy học hình thành và phát triển phẩm chất năng lực cho học sinh. Phương pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh: Phải đi từ cái cụ thể đến trìu tượng, từ dễ đến khó không chỉ coi trọng tính logic của khoa học mà chú ý đến cách tiếp cận dựa trên vốn kinh nghiệm và trải nghiệm của học sinh. Quán triệt lấy người học làm trung tâm: Phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá thể học sinh, tổ chức dạy học kiến tạo trong đó học sinh được tìm tòi sáng tạo, suy luận giải quyết vấn đề. Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp kỹ thuật dạy học tích cực. Kết hợp nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận dụng các phương pháp, kỹ thuật dạy học truyền thống, kết hợp các hoạt động dạy học trong lớp và hoạt động trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn. Sử dụng các thiết bị và phương tiện dạy học phù hợp với nội dung và đối tượng học sinh. 3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh khi thực hiện.  Năng lực tư duy, lập luận toán học Thực hiện được các thao tác tư duy so sánh, phân tích tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự quy nạp diễn dịch, biết đặt và trả lòi câu hỏi, giải thích, điều chỉnh cách thực hiện và giải quyết vấn đề về phương tiện toán học. 4
  8.  Năng lực mô hình hóa toán học: Sử dụng các công thức, mô hình hóa toán học để mô tả tình huống đặt ra trong thực tiễn, giải quyết các vấn đề toán học được thiết lập trong mô hình...  Năng lực giải quyết vấn đề : Nhận biết phát hiện được vấn đề cần giải quyết, đề xuất lựa chọn các giải pháp , giải quyết vấn đề bằng các kiến thức toán học tương thích. Đánh giá giải pháp đề ra, khái quát hóa vấn đề tương tự.  Năng lực giao tiếp: Nghe, viết, trình bày theo dạng văn bản toán học.Trình bày các ý tưởng, giải pháp khi phối hợp với người khác. Sử dụng ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để trình bày ý tưởng, thảo luận với người khác.  Năng lực sử dụng công cụ phương tiện toán học: Biết gọi tên, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các phương tiện, công cụ phục vụ cho toán học. Sử dụng thành thạo, linh hoạt các công cụ, phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi và giải quyết vấn đề toán học phù hợp với lứa tuổi. Chỉ ra các ưu điểm, hạn chế của các công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lý. 4. Đánh giá kết quả giáo dục môn toán.  Mục tiêu đánh giá : Cung cấp thông tin kịp thời, chính xác có sự phát triển năng lực và sự tiến bộ của học sinh trên cơ sở cần đạt ở mỗi lớp học, cấp học. Điều chỉnh các hoạt động dạy học đảm bảo sự tiến bộ của từng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giáo dục môn toán nói riêng và giáo dục nói chung.  Hình thức đánh giá : Đánh giá thường xuyên trong quá trình học tập và rèn luyện với sự tiến bộ của học sinh. Đánh giá định kì có mục đích chính là đánh giá mục tiêu học tập. Kết quả đánh giá định kì và đánh giá tổng kết được sử dụng để nhận cấp độ học tập, công nhận thành tích học tập của học sinh.  Phương pháp đánh giá: Quan sát trong quá trình thực hiện nhiệm vụ, nghe viết, vấn đáp, bài tập trắc nghiệm khách quan, tự luận, thực hành, dự án, các sản phẩm học tập....  Mức độ đánh giá: Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Nhận biết Hiểu và trình bày lại Vận dụng giải Vận dụng giải quyết khái niệm, được vấn đề theo quyết những vấn được những vấn đề mới 5
  9. nhắc lại . cách hiểu của cá đề quen thuộc hoặc đưa ra một cách nhân trong học tập, phản hồi trong học tập, trong cuộc sống. trong cuộc sống một cách linh hoạt. 5. Một số tính chất cơ bản sử dụng trong đề tài:  Tính Chất 1: Nếu hàm số y  f  x  luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) và liên tục trên tập D thì phương trình : f  x   a ( a hằng số) có không quá một nghiệm trên tập D  Tính chất 2: Nếu hàm số y  f  x  luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) , liên tục trên tập D và có f  x1   f  x2  ( x1 , x2  D ) thì khi và chỉ khi: x1  x2  Tính chất 3: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến , liên tục trên tập D và hàm số y  g  x  nghịch biến, liên tục trên tập D thì phương trình f  x   g  x  có nhiều nhất một nghiệm trên tập D .  Tính chất 4: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  a; b  thì f  u   f (v ),  u  v (với u, v  (a; b)) . Nếu hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  a; b  thì f  u   f (v)  u  v, (với u, v  (a; b)) .  Tính Chất 5: Cho hàm số y  f  x  nếu f '  x   0, x   a; b  thì hàm số đồng biến trên khoảng  a; b  . Cho hàm số y  f  x  nếu f '  x   0, x   a; b  thì hàm số nghịch biến trên khoảng  a; b  . V-NỘI DUNG ĐỀ TÀI. Trong các đề thi thử THPTQG và một số bài toán trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh khối 12 có nhiều bài toán giải hệ phương trình, các bài toán tìm tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó hay những bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức mà khi học sinh gặp phải cảm thấy rất khó khăn để giải quyết. Phần lớn học sinh không tìm được cách giải quyết. Sau đây là một số dạng bài toán được phân tích, suy luận, đặc biệt hóa, tương tự hóa tổng quát hóa từ đó giúp học sinh phát triển phẩm năng lực tư duy toán học . 1. Bài toán tổng quát về hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số :  f ( x, y )  0  Bài toán tổng quát 1. Giải hệ phương trình sau:  .  g ( x, y )  0 6
  10.  Các bước thực hiện: Bước 1: Biến đổi phương trình : f ( x, y )  0  h(u( x))  h(v( y)) Bước 2: Xét hàm số y  h(t ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D Bước 3 : Từ đó có u  x   v  y  rút một ẩn thế vào phương trình g ( x, y)  0 giải tìm nghiệm . Bước 4: Kết luận nghiệm phương trình.  Bài toán tổng quát 2 :  f ( x, y )  0 Cho hệ phương trình sau:  . Tìm tham số m để hệ có nghiệm?  g ( x, y )  m  Các bước thực hiện: Bước 1: Biến đổi phương trình : f ( x, y)  0  h(u( x))  h(v( y)) Bước 2: Xét hàm số y  h(t ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D Bước 3 : Từ đó có u  x   v  y  rút một ẩn thế vào phương trình g ( x, y)  m Bước 4: Xét hàm số y  g  x  sau khi rút thế ở bước 3, lập bảng biến thiên để tìm điều kiện cho phương trình g  x   m có nghiệm .Kết luận . Thông qua các bài toán giải hệ phương trình theo phương pháp hàm số ta có thể xây dựng thành lớp bài toán tìm giái trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. 2. Bài toán liên quan đến hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số :  Bài toán tổng quát: Cho số thực x, y  D thỏa mãn : f ( x, y)  0 . Tìm giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất của biểu thức P  g ( x, y)  Các bước thực hiện: Bước 1: Biến đổi giả thiết : f ( x, y )  0  h(u( x))  h(v( y)) Bước 2: Xét hàm số y  h(t ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D Bước 3 : Từ đó có u  x   v  y  rút một ẩn thế vào biểu thức P  g ( x, y) Bước 4: Xét hàm số y  g  x  sau khi rút thế ở bước 3, lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất ) của P . Kết luận . 3. Một số bài toán cụ thể : 7
  11.  x 3  x  y3  y (1)   Bài toán 1.1: Cho hệ phương trình :    x  y  x 2  2y  10 (2)     Có nghiệm là x 0; y 0 khi đó x 02  y 02 bằng: A. 8 B. 16 C. 20 D. 12  Phát hiện vấn đề : -Ta quan sát hệ phương trình, nhận xét phương trình (1) có thể khai thác được vì vai trò x và y hai vế như nhau nghĩ cách xét hàm số theo một vế hoặc ghép nhóm nhân tử chung .Từ đó tìm ra giải pháp cho bài toán.  Tìm giải pháp:  Giải pháp 1: (PP hàm số) - Ta quan sát PT (1) thấy vai trò x và y như nhau ta xét hàm số f t   t 3  t hàm số này là hàm đồng biến trên R . Phương trình 1  f x   f y   x  y thay vào phương trình  2  để giải tiếp tìm được nghiệm hệ.  Giải pháp 2: -Đối với bài toán này phương trình (1) dễ thấy nhóm được nhân tử chung: x 3  x  y 3  y  x  y  (x 2  xy  y 2  1)  0 x  y   2 x  xy  y  1  0 (1') 2 Phương trình 1' : x  3y 2  4  0 vô nghiệm. Thay x  y vào phương trình  2  giải tiếp ta có nghiệm hệ phương trình.  Trình bày giải pháp: ĐK: x  y  0 Xét hàm số f (t )  t 3  t f '(t )  3t 2  1 >0 t  R suy ra hàm số đồng biến trên R PT (1)  f x   f y   x  y thay vào phương trình (2) ta có: 2x  x 2  2x  10  0  ( 2x  2)  x 2  2x  8  0 8
  12. 2(x  2)  2    x  2x  4  0  x  2  x  4  0 2x  2  2x  2  x  2   2   x  4  0(v n x  0)   2x  2 Hệ có nghiệm duy nhất x ; y   2;2 Chọn đáp án A Hoặc khi x  y ta không giải PT (2) mà thay các phương án A,B,C,D 2x 2  8, 2x 2  16, 2x 2  20, 2x 2  12 vào PT(2) thử đáp án nào đúng nghiệm của PT(2) thì chọn. Từ bài toán 1.1 ta có thể đặc biệt hóa thành bài toán chứa tham số như sau:   x  x  y  y (1) 3 3 Bài toán 1.2: Cho hệ phương trình :    3x  y  2x 2  3y  10  m (2)   Tìm m để hệ có nghiệm. A. m  1 B. m   7 C. m   10 D. m  10  Tìm giải pháp: Ta cũng định hướng như bài toán 1.1 tìm được mối quan hệ : x  y Thay vào phương trình (2) ta được: 4x  2x 2  3x  10  m Xét hàm sỗ g(x )  4x  2x 2  3x  10 trên  0;   Trình bày giải pháp: ĐK: 3x  y  0 Xét hàm số f (t )  t 3  t f '(t )  3t 2  1 >0 t  R suy ra hàm số đồng biến trên R PT (1)  f (x )  f y   x  y thay vào phương trình (2) ta có: 4x  2x 2  3x  10  m 2 ' 9
  13. Xét hàm sỗ g(x )  4x  2x 2  3x  10 trên  0;     0 2 1  2 x 1 x 1 g '(x )   4x  3  x x  x  1  x  1 [0;  ) , lim g  x   lim x x    4 x  2 x 2  3x  10   Xét bảng biến thiên của hàm số y  g(x ) : Để hệ có nghiệm thì phương trình 2 ' có nghiệm  m  7 . Vậy m  7 thì hệ có nghiệm . Chọn đáp án B Ta có thể phát triển tư duy học sinh bằng bài toán tương tự hóa bài toán trên theo dạng toán tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của biểu thức . Bài toán 1.3: Cho hai số thực không âm x , y thỏa mãn x 3  x  y 3  y . Giá trị lớn nhất của biểu thức P  3x  y  2x 2  3y  a ( a tham số) thuộc khoảng 2; 3 thì a thuộc khoảng nào sau đây? A. a  5;0  B. a   3;2  C. a   2;3 D. a   4;1 Hướng dẫn giải: Xét hàm số f (t )  t 3  t f '(t )  3t 2  1 >0 t  R suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  0;  10
  14. PT (1)  f (x )  f y   x  y thay vào P ta có: P  4x  2x 2  3x  a . Xét hàm số g(x )  4x  2x 2  3x  a   0 2 1  2 x 1 x 1 g '(x )   4x  3  x x  x  1  x  1 [0;  ) , lim g  x   lim x x   4 x  2 x 2  3x  a   Ta có bảng biến thiên :  Pmax  g (1)  a  3  2; 3  a  5; 0 . Chọn A. (x  1) x  2  y 3  y (1)  Bài toán 2.1: Cho hệ phương trình :  2 x  y 2  13  x (2)  Số nghiệm của hệ phương trình là: A. 2 B. 1 C. 3 D. 4  Phát hiện vấn đề : Ta quan sát hệ thấy PT(2) không biến đổi được gì nên nghĩ cách phân tích phương trình (1) : (1)  x  2 x  2  x  2  y 3  y    3 x 2 x  2  y3  y Ta thấy vai trò x  2, y ở hai vế như nhau nên sẽ tìm ra giải pháp .  Tìm giải pháp:  Giải pháp 1: (PP hàm số) 11
  15. (1)  x  2 x  2  x  2  y 3  y    3 x 2 x  2  y3  y Xét hàm số f t   t 3  t đồng biến trên R mà có: f   x  2  f y   x  2  y Thay vào phương trình (2) giải tìm x suy ra nghiệm của hệ .  Giải pháp 2: Phân tích phương trình (1) nhóm nhân tử chung ta có: (1)  x  2 x  2  x  2  y 3  y    3 x 2 x  2  y3  y     2   x  2  y  x  2  y x  2  y 2  1  0   y  x  2     2  x  2  y x  2  y 2  1  0(VN )  Thay y  x  2 vào phương trình (2) giải và suy ra nghiệm hệ.  Trình bày giải pháp: ĐK: x  2 PT (1)  x  2 x  2  x  2  y 3  y x  2 3   x  2  y3  y Xét hàm số f (t )  t 3  t f '(t )  3t 2  1 >0 t  R suy ra hàm số đồng biến trên R PT(1)  f ( x  2)  f y   y  x  2  y 2  x  2 thay vào pt 2 ta có: 2  x 2  2x  15  0 . Với x  3  y  1 . Hệ có nghiệm duy nhất x ; y   3;1 Chọn đáp án B 12
  16. Phát triển năng lực tư duy học sinh bằng bài toán khái quát hóa từ bài toán 2.1 thành bài toán chứa tham số:   (x  1) x  2  y  y (1) 3 Bài toán 2.2: Cho hệ phương trình :  2  x  y 2  13  x  m (2)   Tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm . A. m  16 B. m  16 C. m   7 D. m  4  Tìm giải pháp: Dựa trên bài toán 2.1 ta giải quyết bài toán 2.2 Từ phương trình (1) ta có y 2  x  2 thay vào PT (2) ta có: x 2  x  2  13  x  m  m  x 2  2x  15 Lập bảng biến thiên của hàm số g  x   x 2  2 x  15 để tìm m .  Trình bày giải pháp: ĐK: x  2 PT (1)  x  2 x  2  x  2  y 3  y x  2 3   x  2  y 3  y . Xét hàm số f (t )  t 3  t f '(t )  3t 2  1  0 t  R suy ra hàm số đồng biến trên R. PT(1)  f ( x  2)  f y   y  x  2  y 2  x  2 thay vào pt 2 ta có: 2  x 2  2x  15  m . Xét hàm số : g(x )  x 2  2x  15 Bảng biến thiên của hàm số trên miền xác định 2;  :  13
  17. Vậy hệ có nghiệm khi m  7 . Chọn đáp án C. Phát triển tư duy học sinh bằng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất : Bài toán 2.3: Cho số thực x, y dương thỏa mãn (x  1) x  2  y 3  y . Giá lớn nhất của biểu thức P  2y 2  x 2  4x  3 là: A. 2 B. 2 C. 7 D. 5 Hướng dẫn giải : Từ bài toán 2.1 (x  1) x  2  y 3  y  x  2 x  2  x  2  y 3  y x  2 3   x  2  y3  y Xét hàm số f (t )  t 3  t đồng biến trên R  y  x  2  y 2  x  2 thay vào biểu thức P  x 2  6x  7 Xét hàm số : g x   x 2  6x  7 Lập bảng biến thiên hàm số g x   x 2  6x  7 trên đoạn [2; ) Pmax  g 3  2 . Chọn A. Bài toán 3.1 Cho hệ phương trình   x  y  3y  x  4y  2  0 (1) 3 3 2  3 (x , y  ) .  x x 3  2 x 2 y (2)     Có nghiệm là x 0; y0 . Biểu thức 1 x0 2 1  2 bằng: y0 1 1 13 11 A. B. C. D. 2 4 36 20 14
  18.  Phát hiện vấn đề : Ở vế trái PT 1 là một hàm bậc 3 ta đưa về như sau: (1)  x 3  x  2  y 3  3y 2  4y  x 3  x  2  y  1  y  1  2 1' 3  Tìm giải pháp:  Giải pháp 1: ( PP hàm số) Ta xét hàm số: f t   t 3  t  2 đồng biến trên R . Từ 1' có f x   f y  1  x  y  1  y  x  1 Thay vào PT (2) giải theo liên hợp . 1 1 Hoặc thay y 0  x 0  1 vào biểu thức :  2 bằng các phương án A, x 0 y0 2 B,C,D rồi thử phương án nào là nghiệm của PT (2) thì chọn.  Giải pháp 2: Phân tích phương trình (1) nhóm nhân tử chung :   (1)  x 3  x  y  1  y  1  x  y  1 x 2  x y  1  y  1  1  0 3 2   x  y  1 (1')   2 x  x y  1  y  1  1  0(VN ) 2  Thay (1’) vào PT (2) giải phương trình vô tỷ theo PP liên hợp. Từ đó tìm được nghiệm của hệ PT.  Trình bày giải pháp: ĐK: x  2 Phân tích bài toán với PT(2) không biến đổi được gì nên nghĩ cách phân tích phương trình (1) Ta quan sát phương trình(1) có chứa bậc 3 ở x và y nên đưa về hàm bậc 3 theo từng vế ta có (1)  x 3  x  2  y 3  3y 2  4y  x 3  x  2  y  1  y  1  2 (1') 3 Xét hàm số f t   t 3  t  2 trên 2;  .  15
  19. Ta có: f ' t   3t 2  1  0, t  2;  . Suy ra hàm số y  f t  đồng  biến trên khoảng  2;   . PT (1')  f (x )  f y  1  x  y  1 thay vào phương trình  2  ta có: x3  3  2 x  2 1  x3  8  2  x 2 2  2  x 2 2  x 2 2    x  2 x  2x  4  2   x 2 2  2 x  2   x  2 x 2  2x  4    x 2 2     2   x  2 x 2  2x  4  0      x 2 2     x 2  0  x  2  y  3 2 2  x 2  2x  4   0  x 2  2x  4  *  x 2 2   x 2 2  Ta có VT  x 2  2x  4  x  1  3  3; 2 2 VP   1, x  2;  x 2 2 Do đó phương trình (*) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x ; y   2; 3 1 1 13   2  x 2 y 36 Chọn đáp án C. Chú ý : Ở bước thay vào PT (2) có thể đem thử khi có x  y  1 thay vào các đáp án đã cho đem thử xem đáp án nào thỏa mãn là nghiệm của PT (2) thì chọn. 16
  20.  Phát triển tư duy học sinh bằng bài toán khái quát chứa tham số thông qua bài toán 3.1 Bài toán 3.2Cho hệ phương trình   x  y  3y  x  4y  2  0 (1) 3 3 2  3 (x , y  ) . Tìm m để hệ có nghiệm.  x  x  5  2 x  2  y  m (2)   A. m  5 B. m  5 C. m  10 D. m  14  Tìm giải pháp: Dựa trên PP của bài toán 3.1 định hướng giải bài toán 3.2 (1)  x 3  x  2  y 3  3y 2  4y  x 3  x  2  y  1  y  1  2 (1') 3 Ta xét hàm số: f t   t 3  t  2 đồng biến trên R . (1')  f (x )  f (y  1)  x  y  1  y  x  1 khi đó thay vào PT(2) ta tiếp tục xét hàm số.  Trình bày giải pháp: (1)  x 3  x  2  y 3  3y 2  4y  x 3  x  2  y  1  y  1  2 (1') 3 Xét hàm số f t   t 3  t  2 trên 2;  .  Ta có: f ' t   3t 2  1  0, t  2;  . Suy ra hàm số f t  đồng biến  trên.PT(1’)  f (x )  f y  1  x  y  1  y  x  1 thay vào pt(2) ta có: x 3  6  2 x  2  m Xét hàm số : 1 g x   x 3  6  2 x  2  g ' x   3x 2   0, x  2 x 2 Hàm số đồng biến trên khoảng xác định . Bảng biến thiên hàm số g(x ) là: 17

 

TOP Download

Tài liệu đề nghị cho bạn:

popupslide2=2Array ( )