Chuyên đề Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Chuyên đề Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hệ thống hóa lý thuyết, bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết kèm đáp số. Tài liệu giúp học sinh nắm vững phương pháp xác định khoảng cách trong không gian thông qua tọa độ và hình học. » Xem thêm
Tóm tắt nội dung tài liệu
- Tailieumontoan.com
Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
KHOẢNG CÁCH HAI ĐƯỜNG
THẲNG CHÉO NHAU
Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020
- Website: tailieumontoan.com
DẠNG TOÁN 40: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Muốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta dựng mặt phẳng (α ) chứa b và
song song với a . Chọn một điểm M thích hợp trên a và tính khoảng cách từ M đến (α ) .
d ( a , b ) = d ( M , (α ) ) .
Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b ta có thể sử dụng một trong các
cách sau:
Cách 1: (Sử dụng trong trường hợp a ⊥ b )
• Dựng mặt phẳng (α ) chứa b và vuông góc với a tại A .
• Dựng AB ⊥ b tại b .
AB là đoạn vuông góc chung của a và b .
Cách 2:
• Dựng mặt phẳng (α ) chứa b và song song với a .
• Chọn điểm M thích hợp trên a , dựng MH ⊥ (α ) tại H .
• Qua H , dựng đường thẳng a′//a , cắt b tại B .
• Từ B dựng đường thẳng song song MH , cắt a tại A .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 1
- Website: tailieumontoan.com
AB là đoạn vuông góc chung của a và b .
Cách 3:
• Dựng mặt phẳng (α ) vuông góc với a tại M .
• Dựng hình chiếu b′ của b lên (α ) .
• Dựng hình chiếu vuông góc H khác của M lên b′ .
• Từ H , dựng đường thẳng song song với a , cắt b tại B .
• Qua B , dựng đường thẳng song song với MH , cắt a tại A .
AB là đoạn vuông góc chung của a và b .
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A ,
AB = 2a , AC = 4a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a (minh họa như hình vẽ bên). Gọi M là
trung điểm AB .
S
A B
M
C
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng
2a a 6 a 3 a
A. . B. . C. . D. .
3 3 3 2
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 2
- Website: tailieumontoan.com
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Tứ diện vuông: Tứ diện SABC được gọi là tứ diện vuông nếu tứ diện đó có SA, SB, SC đôi một vuông
góc với nhau.
Gọi H là hình chiếu của S trên ( ABC ) . Khi đó:
+ H là trực tâm tam giác ABC .
1 1 1 1
+ 2
= 2+ 2+ .
SH SA SB SC 2
Đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho đường thẳng a ⊄ ( P ) .
Nếu a //b ⊂ ( P ) ⇒ a // ( P ) .
3. HƯỚNG GIẢI:
B1: Gọi N là trung điểm AC . Chứng minh BC // ( SMN ) .
Suy ra d ( BC ; SM ) d= d ( B; ( SMN ) ) .
= ( BC; ( SMN ) )
( B; ( SMN ) ) ( A; ( SMN ) )
B2: Nhận xét d= d= h là độ dài đường cao của tứ diện A.SMN xuất phát từ
đỉnh A.
B3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông để tính h .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
S
M
A B
N
C
AC AB
=
Gọi N là trung điểm AC . Khi đó: AN = 2a ; AM = a .
=
2 2
Ta có: MN // BC ⇒ BC // ( SMN ) .
Suy ra: = d (= d= d ( A; ( SMN ) ) .
d ( BC ; SM ) BC ; ( SMN ) ) ( B; ( SMN ) )
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 3
- Website: tailieumontoan.com
(Do đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( SMN ) tại điểm M là trung điểm AB ).
Tứ diện A.SMN vuông tại A có h = d ( A; ( SMN ) ) suy ra:
1 1 1 1 1 1 1 9 2a
= + + 2= + + 2= hay h = .
( 2a )
2 2 2 2 2 2
h AN AM SA a a 4a 3
Vậy d ( BC ; SM )= d ( A; ( SMN ) ) h=
2a
= .
3
Lưu ý: Ta có thể tính d ( A; ( SMN ) ) như sau:
S
H
M
A B
N I
C
Gọi I , H lần lượt là hình chiếu của điểm A trên MN , SI .
MN ⊥ AI
⇒ MN ⊥ ( SAI ) ⇒ MN ⊥ AH .
MN ⊥ SA
AH ⊥ SI
⇒ AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( AH ; ( SMN ) ) =.
AH
AH ⊥ MN
1 1 1 1 1 5
∆AMN vuông tại A ⇒ = 2+ =2 + = 2.
AI 2
AM AN 2
a ( 2a ) 2
4a
1 1 1 1 5 9 2a
∆SAI vuông tại A ⇒ 2
= 2 + 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ AH = .
AH SA AI a 4a 4a 3
Vậy d ( BC ; SM ) d ( A; ( SMN ) ) AH
2a
= = = .
3
Cách khác :
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với O ≡ A , cho a = 1 .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 4
- Website: tailieumontoan.com
Ta có tọa độ các điểm A ( 0;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 4; 0; 0 ) , S ( 0;0;1) , M ( 0;1;0 ) .
SM , BC SB 2
2
d ( SM , BC )
= = . Vậy d ( SM , BC ) = a .
SM , BC 3 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Cho điểm M và một đường thẳng ∆ . Trong mặt phẳng ( M , ∆ ) gọi H là hình chiếu vuông góc của M
trên ∆ . Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến ∆ .
Ký hiệu: d ( M , ∆ ) = .
MH
3. HƯỚNG GIẢI:
Qua M kẻ MH ⊥ ∆ . Khoảng cách từ M đến ∆ bằng MH .
Công thức sử dụng: Cho ∆MAB vuông tại M , đường cao MH .
1 1 1
=
2
+ .
MH MA MB 2
2
MA.MB 2 S ∆MAB
= =
MH MH .
AB AB
BÀI TẬP MẪU
Cho hình chóp S . ABC với SA vuông góc với ( ABC ) và SA = a . Diện tích S ∆ABC = a 2 , BC = a 2 .
Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?
A. a 3 . B. a 2 . C. a . D. 2a .
Lời giải
Chọn A
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 5
- Website: tailieumontoan.com
S
A C
H
B
Trong mp ( SBC ) kẻ SH ⊥ BC .
Theo đầu bài ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC .
Suy ra BC ⊥ ( SAH ) ⇒ AH ⊥ BC .
1 2.S ∆ABC 2.a 2
=
Ta lại có S ∆ABC AH .BC ⇒ =
AH = = 2.a .
2 BC 2a
Ta có SH = SA2 + AH 2 = a 2 + 2a 2 = a 3 . Vậy d ( S , BC ) SH a 3 .
= =
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng (α ) : d (O;(α )) = OH trong đó H là hình chiếu của O
trên (α )
Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α ) và M ; N ∈ ∆ thì d ( M ;(α )) = d (N;(α ))
Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α ) tại điểm I và M ; N ∈ ∆ ( M ; N không trùng với I ) thì
d ( M ;(α )) MI
=
d (N;(α )) NI
Đặc biệt:
1
Nếu M là trung điểm của NI thì: d ( M ;(α )) = d ( N ;(α ))
2
Nếu I là trung điểm của MN thì: d ( M ;(α )) = d ( N ;(α ))
3. HƯỚNG GIẢI:
Xác định hình chiếu H của O trên (α ) và tính OH
- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với (α )
- Tìm giao tuyến (α ) của (P) và (α )
- Kẻ OH ⊥ ∆( H ∈ ∆) . Khi đó d (O;(α )) = OH .
Lưu ý
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 6
- Website: tailieumontoan.com
Tính chất của tứ diện vuông
Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OA ⊥ OB; OB ⊥ OC ; OC ⊥ OA) và H là hình chiếu của O trên mặt
1 1 1 1
phẳng ( ABC ) . Ta có 2
= + +
OH OA OB OC 2
2 2
BÀI TẬP MẪU
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với BC a 2, ABC 60° . Tam giác SAB nằm trong
= =
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SAB ) bằng:
a 6 a 2 2a 6
A. . B. . C. a 2 . D. .
2 2 3
Lời giải
Chọn A
Dựng SH ⊥ AB ,
do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
Dựng CK ⊥ AB , có CK ⊥ SH ⇒ CK ⊥ ( SAB )
Do CD / / AB ⇒ d ( D, ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) )= BC= a=
3 a 6
= CK sin 60° 2. .
2 2
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song.
2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
2.1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Cho đường thẳng ∆ song song mặt phẳng (α ) . Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α ) là
khoảng cách từ một điểm M bất kì trên đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α ) .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 7
- Website: tailieumontoan.com
= d ( M , (α ) ) , ∀M ∈ ∆
d ( ∆ , (α ) )
2.2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Cho hai mặt phẳng song song (α ) và ( β ) . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α ) và ( β ) là khoảng cách
từ một điểm M bất kì trên mặt phẳng (α ) đến mặt phẳng ( β ) .
d ( (α ) , ( β ) ) d ( M , ( β ) ) , ∀M ∈ (α )
=
3. HƯỚNG GIẢI:
Đưa về dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
BÀI TẬP MẪU
2a
Cho hình chóp S . ABC có đường cao SH = . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB .
3
Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( ABC ) bằng:
a a 2 a a 3
A. . B. . C. . D. .
2 2 3 3
Lời giải
Chọn D
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 8
- Website: tailieumontoan.com
Vì M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên MN AB suy ra MN ( ABC ) .
Ta có: d ( MN ; ( ABC ) ) = d ( M ; ( ABC ) ) .
Lại có: M là trung điểm của SA nên d ( M ; ( ABC ) ) d ( S ; ( ABC ) ) =
1 1 a 3
= = SH .
2 2 3
Vậy d ( MN ; ( ABC ) ) =
a 3
.
3
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 3 + 4
Câu 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng
( ABCD ) , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 45° . Biết rằng thể tích khối
a3 2
chóp S . ABCD bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng
3
a 3 a 6 a 10 a 10
A. . B. . C. . D. .
2 3 5 10
Lời giải
Chọn C.
S
H
K
A
B
I
D C
Đặt cạnh của hình vuông ABCD là x , x > 0 .
Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) là góc SCA .
Vậy SCA 45° . Do đó tam giác SAC vuông cân tại A . Suy ra = AC x 2 .
= SA =
1 1 x3 2
Ta có VABCD = SA.S ABCD = .x 2.x 2 = .
3 3 3
a3 2
Theo bài ra thì VABCD = . Vậy x = a .
3
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 9
- Website: tailieumontoan.com
Cách 1: Qua B dựng đường thẳng d song song với AC , qua A dựng đường thẳng d ′ song
song với BD . Gọi K là giao điểm của d và d ′ . Ta có AC // ( SKB ) .
Do đó d ( AC , SB ) = d ( AC , ( SKB ) ) = d ( A, ( SKB ) ) .
Trong mặt phẳng ( SAK ) dựng AH vuông góc với SK tại H (1).
Vì AC ⊥ BD nên suy ra AK ⊥ KB (2). Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ KB (3).
Từ (2) và (3) suy ra KB ⊥ ( SAK ) . Do đó ta có KB ⊥ AH (4).
Từ (1) và (4) suy ra AH ⊥ ( SKB ) . Vậy AH = d ( A, ( SKB ) ) .
Gọi I là giao điểm của AC và BD .
BD a 2
Ta có tứ giác AKBI hình chữ nhật nên AK = BI = = .
2 2
1 1 1 1 1 5
Trong tam giác vuông SAK có = +
= + = .
(a 2 )
2 2
AH AS AK 2 2
a 2
2
2a 2
2
a 10 a 10
Suy ra AH = . Vậy d ( AC , SB ) = .
5 5
Cách 2: (Tọa độ hóa)
Gán hệ trục tọa độ như sau: A ( 0;0;0 ) , D ( a;0;0 ) , B ( 0; a;0 ) và S 0;0; a 2 . ( )
Khi đó C ( a; a;0 ) .
Ta có=
SB ( 0; a; −a 2 ) , AC = ( a; a;0) , AS = ( 0;0; a 2 ) .
Do đó: AC , SB =
( −a 2
)
2; a 2 2; a 2 , AC , SB . AS = a 3 2 .
AC , SB AS a 3 2 a 10
Từ đó ta có d ( AC=
, SB ) = =
.
AC , SB a2 5 5
Câu 2. Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ; cạnh bên SA vuông góc với
đáy; SC hợp với đáy góc 45° . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD là:
a 2a 2a
A. . B. a . C. . D. .
2 2 3
Lời giải
Chọn A
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 10
- Website: tailieumontoan.com
SCA =
Ta có: AC là hình chiếu vuông góc của SC lên ( ABCD ) ⇒ ( SC , ( ABCD ) ) =
45° .
BD ⊥ AC
Lại có: ⇒ BD ⊥ SC .
BD ⊥ SA
Gọi = AC ∩ BD . Dựng OH ⊥ SC tại H .
O
OH ⊥ SC
Ta có: ⇒ OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC .
OH ⊥ BD
Suy ra d ( BD, SC ) = OH .
2a 2 a
Xét tam giác OHC vuông tại H có: OH OC sin 45°
= = = . .
2 2 2
Câu 3. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác
đều cạnh a và mặt phẳng ( SBC ) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA, BC.
3a 3a 3a
A. . B. a . C. . D. .
4 2 6
Lời giải
Chọn A
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 11
- Website: tailieumontoan.com
AB a a 3
=
AH = , SH = , SA ⊥ ( ABC ) ⊃ BC → SA ⊥ BC (1)
2 2 2
Ta có BC ⊥ AH ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ ( SHA )
Trong mp ( SAH ) , kẻ HK ⊥ SA ( K ∈ SA ) . Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau SA và BC .
1 1 1 16
Xét tam giác SHA vuông tại H có 2
= 2
+ 2
= 2
HK HS HA 3a
a 3
Vậy d ( SA, BC ) = .
4
Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với
mặt phẳng ( ABCD ) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC .
2 57 a 2 57 a 3a
A. . B. . C. . D. a .
19 19 2
Lời giải
Chọn C
S
K
D
S
D C
H K
H
N
A M B M C
DM ⊥ NC
Ta thấy ⇒ DM ⊥ ( SHC ) ⇒ DM ⊥ SC .
DM ⊥ SH
Ta có: ∆MAD = ⇒ = ⇒ MD ⊥ NC .
∆NDC
ADM DCN
Do SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MD ⊥ SH ⇒ MD ⊥ ( SHC ) .
Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) .
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên d ( DM , SC ) = HK .
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 12
- Website: tailieumontoan.com
CD 2 2a SH ⋅ HC 2 3a
Ta có: =
HC = và=
HK = ⋅
CN 5 SH 2 + HC 2 19
2 3a
Do đó: d ( DM , SC ) = .
19
Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a 2 . Tam giác SAD cân tại
S và mặt bên ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
4 3
a . Tính khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD ) .
3
3 2 4 8
A. h = a. B. h = a. C. h = a. D. h = a .
4 3 3 3
Lời giải
Chọn C.
S
S
A B
AI
D C
Cách 1:
Ta có chiều cao của khối chóp S . ABCD là SI với I là trung điểm của AD .
4 1 4 3
Suy ra thể tích của khối chóp S . ABCD bằng a 3 ⇔ 2a 2 .SI = a ⇔ SI = 2a .
3 3 3
Xét tam giác SCD vuông tại D có:
3a 2 1 1 3a 2 3a 2
SD = SI 2 + ID 2 = nên S ∆SCD =
= SD.CD . = .a 2 .
2 2 2 2 2
4 1 4
Thấy ngay VS . ABCD 2= 2VB.SCD = 2. S ∆SCD .h ⇔ h
= VS .BCD ⇔ a3 = a.
3 3 3
Cách 2: (Phương pháp tọa độ hóa)
4
3 ⋅ a3
1 3VS . ABCD 3
Ta có VS . ABCD = SI ⋅ S ABCD ⇒ SI = = = 2a .
( )
2
3 S ABCD a 2
Chọn hệ trục Ixyz như hình vẽ:
z
S
B
A
I
D y
C
x
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 13
- Website: tailieumontoan.com
a 2 a 2 a 2
I ( 0; 0; 0 ) , D
2 ;0;0 , C
2 ; a 2;0 , S ( 0;0; 2a ) ; B −
; a 2;0 .
2
a 2
a 2
=
SC ; a 2; −2=
a , SD
;0; −2a .
2 2
− 2 (
)
SC , SD = 2a 2;0; −a =a ⋅ u với u = 2 2;0;1 .
2
− 2 ( )
Phương trình mặt phẳng ( SCD ) qua S ( 0;0; 2a ) và nhận véc-tơ u làm véc-tơ pháp tuyến là
2 2 ( x − 0 ) + 0 ( y − 0 ) + 1( z − 2a ) =0 ⇔ 2 2 x + z − 2a =0 .
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD ) là:
a 2
2 2 ⋅ − + 0 − 2a
2
d ( B, ( SCD ) )
4a
= = .
( ) 3
2
2 2 +1 1
Câu 6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD = 120 . Các mặt
phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối
a3 3
chóp S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng ( SBC ) theo a.
3
a 228 a 228 2 5a 2 5a
A. h = . B. h = . C. h = . D. h = .
38 19 5 19
Lời giải
Chọn A.
S z
S
M M
K y
A D A D
B O
B C C x
H
Cách 1: phương pháp dựng hình
Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt
=( SBC ) ) = ) )
⇒ d (M , d ( D, ( SBC
DM 1 1
phẳng ( ABCD ) nên SA ⊥ ( ABCD ) . Ta có
DS 2 2
AD //BC
⇒ AD // ( SBC ) ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = ) ) . Vậy d ( M , ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )
d ( A, ( SBC
1 1
2 2
Gọi H là trung điểm của BC, do tam giác ABC đều nên AH ⊥ BC , lại có
SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC nên BC ⊥ ( SAH ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAH )
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 14
- Website: tailieumontoan.com
Dựng AK ⊥ SH ⇒ AK ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = .
AK
a2 3
= =
Diện tích hình thoi ABCD là : S ABCD AB.BC.sin 600
2
3VS . ABCD a 3
Từ đó suy ra SA
= = 2a . Tính được AH =
S ABCD 2
Tam giác SAH vuông tại A, đường cao AK nên :
1 1 1 4 1 19 a 228
2
= 2
+ 2 = 2+ 2 = 2
⇒ AK = .
AK AH SA 3a 4a 12a 19
Vậy d ( M , ( SBC ) )
1 a 228
= =AK .
2 38
Cách 2: Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, Oz //SA . Khi đó ta có
−a −a 3 a
O ( 0;0;0 ) , A ;0;0 , B 0;
;0 , C ;0;0
2
2 2
a 3 −a −a a 3
D 0;
;0 ⇒ S ;0; 2a , M ;
4 ;a
2 2 4
a −a 3 a a 3
⇒ SB = ;
2 ; −2a , SC =
( a;0; −2a ) , SM = ;
4 4 ; −a
2
SB, SC .SM
d ( M , ( SBC ) )
a 228
Vậy = = .
SB, SC 38
Câu 7. Cho hình tứ diện EFGH có EF , EG, EH đôi một vuông góc EF = 6a , EG = 8a , EH = 12a ,
với a > 0, a ∈ . Gọi I , J tương ứng là trung điểm của hai cạnh FG , FH . Tính khoảng cách
d từ điểm F đến mặt phẳng ( EIJ ) theo a .
12 29.a 6 29.a 24 29.a 8 29.a
A. d = . B. d = . C. d = . D. d = .
29 29 29 29
Lời giải
Chọn C.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 15
- Website: tailieumontoan.com
G
z
8a I
N
x E 6a
F
K
12a
M
J
y
H
Cách 1: Vì EF vuông góc với EG , EG vuông góc với EH nên EG ⊥ ( EFH ) . Gọi K là trung
điểm của EF suy ra IK ⊥ ( EFH ) . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu của K trên EJ và IM ta
có d ( K , ( EIJ ) ) = KN .=
Ta có: d (=
F , ( EIJ ) ) 2d ( = 2 KN .
K , ( EIJ ) )
Trong tam giác EKJ vuông tại K và tam giác IKM vuông tại K ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 29 12 29
2
= 2
+ 2 = 2+ 2
+ 2 = 2+ 2
+ 2
= 2
⇒ KN = a.
KN KM KI KJ KE KI 9a 16a 36a 144a 29
24 29.a
Vậy d = .
29
Cách 2: Vì EF vuông góc với EG , EG vuông góc với EH nên EG ⊥ ( EFH ) . Gọi K là trung
điểm của EF suy ra IK ⊥ ( EFH ) . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có:
K ( 0;0;0 ) , I ( 0;0; 4a ) , E ( 3a;0;0 ) , J ( 0;6a;0 )
x y z
Phương trình mặt phẳng ( EIJ ) : + + = ⇔ 4 x + 2 y + 3 z − 12a =
1 0
3a 6a 4a
=d ( F , ( EIJ ) )
= 2d ( K , ( EIJ ) ) 2
=
12a
= =
24a 24 29a
.
4 + 9 + 16 29 29
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt
đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD ) là 45° , gọi G là trọng tâm tam giác
SCD. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD.
a 5 a 5 a 3 a 2
A. h = . B. h = . C. h = . D. h = .
2 3 2 3
Lời giải
Chọn D
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 16
- Website: tailieumontoan.com
S
z
S
A G D y
K G D
A
N M M
O O
B
B x C
C
Cách 1 : phương pháp dựng hình
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.
AD //MN ⇒ AD // ( SMN ) ⇒ d ( AD, MN= d ( AD, ( SMN )= d ( A, ( SMN ) )
) )
MN ⊥ AB, MN ⊥ SA ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAB )
Dựng AK ⊥ SN ⇒ AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A, ( SMN ) ) =
AK
Lại có SA ⊥ ( ABCD ) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ( ABCD )
Từ đó suy ra ( SC , ( ABCD ) ) ( SC , AC ) SCA 450 .
= = =
Vậy giác SAC vuông cân, suy ra = AC a 2
SA =
Tam giác SAN vuông tại A, đường cao AK suy ra :
1 1 1 1 4 9 a 2
2
= 2
+ 2
= 2
+ 2 = 2
⇒ AK = .
AK SA AN 2a a 2a 3
Cách 2 : phương pháp tọa độ
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, theo cách 1 ta tính được SA = a 2
(
Khi đó A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 ) , S 0;0; a 2 )
a a a 2a a 2 −a a a 2
Suy= =
3 ; 3 ; 3 , OG ; ;
6 6 3
ra O ; ;0 , G
2 2
AD, OG . AO a 2
(= ; ;0 . Vậy d ( AD, OG )
a a
=AD 0; a;0 ) , AO = = .
2 2 AD, OG 3
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết AD = 2a ,
= = =
AB BC SA a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính
khoảng cách h từ M đến mặt phẳng ( SCD ) .
a 6 a 6 a 3 a
A. h = . B. h = . C. h = . D. h = .
6 3 6 3
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 17
- Website: tailieumontoan.com
Lời giải
Chọn A
S
H M D
A
B C
C1: phương pháp dựng hình.
1
Tứ giác ABCM là hình vuông nên CM= a= AD
2
Suy ra tam giác ACD vuông tại C
Ta có CD ⊥ AC , CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ ( SAC )
Kẻ AH ⊥ SC tại H khi đó do
CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SCD )
d ( M , ( SCD ) ) d ( A, ( SCD ) )
1 1
Vậy = = AH
2 2
1 1 1 1 1 3
Tam giác SAC vuông tại A, đường cao AH nên 2
= 2+ 2
=2+ 2 = 2
AH SA AC a 2a 2a
Suy ra AH =d ( M , ( SCD ) ) =
a 6 a 6
⇒ .
3 6
C2: Phương pháp tọa độ
z
S
M y
A D
B
x C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có :
A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D ( 0; 2a;0 ) , S ( 0;0; a )
Từ đó suy ra M ( 0; a;0 ) , C ( a; a;0 ) ⇒ SM = ( 0; a; −a )
SC = a; a; −a ) , SD = 0; 2a; −a )
( (
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 18
- Website: tailieumontoan.com
= SC , SD
a ; a ; 2a ) , SC , SD
(= 2 2 2
6a 2
Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SCD ) là
SC , SD .SM
a3
d ( M , ( SCD ) )
a 6
=
= = .
SC , SD 2
a 6 6
Câu 10. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB a= a 3 . Cạnh OA
= , OC
vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA = a 3 , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h
giữa hai đường thẳng AB và OM.
a 5 a 3 a 15 a 3
A. h = . B. h = . C. h = . D. h = .
5 2 5 15
Lời giải
Chọn C
Cách 1 : phương pháp dựng hình
A
H
O C
N
K
M
B
Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Khi đó OM //BN ( tính chất đường trung bình )
do đó OM // ( ABN ) . Suy = d= d ( O, ( ABN ) ) .
ra d ( OM , AB ) ( OM , ( ABN ) )
Dựng OK ⊥ BN , OA ⊥ ( OBC ) ⇒ BN ⊥ OA ⇒ BN ⊥ AK
Dựng OH ⊥ AK khi đó OH ⊥ ( ABN ) . Từ đó d ( OM , AB ) = OH
Tam giác ONB vuông tại O, đường cao OK nên
1 1 1 1 1 4
2
= 2
+ 2
= 2
+ 2 =
OK ON OB 3a a 3a 2
Tam giác AOK vuông tại O, đường cao OH nên
1 1 1 4 1 5 a 15
2
= 2
+ 2
= 2 + 2 = 2 ⇒ OH =
OH OK OA 3a 3a 3a 5
a 15
Vậy d ( OM , AB ) = .
5
Cách 2 : Phương pháp tọa độ
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 Trang 19
