Luyện giải đề thi cao học môn Đại số
Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Luyện giải đề thi cao học môn Đại số dưới đây để làm quen với cấu trúc đề thi cũng như tham khảo cách giải bài tập đề thi cao học. Mỗi bài tập đi kèm sẽ có lời giải chi tiết giúp bạn nắm vững công thức và nâng cao kỹ năng giải đề thi. » Xem thêm
Tóm tắt nội dung tài liệu
- Luyện giải đề thi cao học môn đại số
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC
MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
1
- Luyện giải đề thi cao học môn đại số
Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 R3 xác định bởi
f(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2,x2+x3,x3+x4) với mọi x=(x1,x2,x3,x4) R4
M={ (x1,x2,x3,x4) R4 : x1-x2=0 và x3-x4=0}
a. Tìm ma trận f trong cơ sở chính tắc của R 4 và R3 . xác định Imf và Kerf
b. CM f(M) là không gian vectơ con của R 3. tìm dimf(M)
Giải :
Tìm ma trận f trong cơ sở chính tắc của R 4 và R3
Trong R4 ta có e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1)
Trong R3 ta có e’1=(1,0,0),e’2=(0,1,0),e’3=(0,0,1)
Ma trận f trong cơ sở chính tắc là
a1 a2 a3 a 4 1 1 0 0
A f /( e 4 ), ( e3 ) b1 b2 b3 b4 0 1 1 0
c1 c2 c3 c 4 0 0 1 1
mà f(e1)=(1,0,0)=a1e’1+b1e’2+c1e’3 ta tìm được (a1,b1,c1)=(1,0,0)
f(e2)=(1,1,0) (a2,b2,c2)=(1,1,0)
f(e3)=(0,1,1) (a3,b3,c3)=(0,1,1)
f(e4)=(0,0,1) (a4,b4,c4)=(0,0,1)
Xác định Imf,Kerf
Kerf ={ x R4 : f(x)=0 }
x1 x 4
x1 x 2 0 x x
Ta được hệ x 2 x3 0 2 4 hệ có nghiệm tổng quát là (-a,a,-a,a)
x x 0 x3 x 4
3 4
x 4 R
Hệ nghiệm cơ bản là (-1,1,-1,1)
Vậy dimKerf=1, cơ sở của Kerf =(-1,1,-1,1)
Tìm Imf
Ta có f(e1)=(1,0,0),f(e2)=(1,1,0), f(e3)=(0,1,1),f(e4)=(0,0,1)
Nên Imf=
Ta có
1 0 0 1 0 0
1 1
0 0 1 0
...
0 1 1 0 0 1
0 0 1 0 0 0
2
- Luyện giải đề thi cao học môn đại số
vậy cơ sở của Imf là f(e1),f(e2),f(e3) và dimf=3
b.
Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình
mx1 x 2 x3 x 4 1
x1 mx2 x3 x 4 1
x x mx x 1
1 2 3 4
Giải : lập ma trận các hệ số
m 1 1 1 . 1 1 1 m 1 . 1 1 1 m 1 . 1
A 1 m 1 1 . 1 1 m 1 1 . 1. ... 0 m 1 1 m 0 . 0
1 1 m 1 . 1 m 1 1 1 . 1 0 0 2 m m 2 1 m . 1 m
(1 m)(2 m) x3 (1 m) x 4 1 m
vậy ta được (m 1) x 2 (1 m) x3 0
x x mx x 1
1 2 3 4
Biện luận:
Với m=1 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số x2,x3,x4
nghiệm của hệ là (1-a-b-c,a,b,c) a,b,c R
với m=-2 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x3
nghiệm của hệ là (a,a,a,1) a R
với m khác 1,-2 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x4 và m
1 a
x m 2
x 1 a
nghiệm của hệ là m 2 a R
1 a
x
m2
x a
Bài 3: Cho chuỗi luỹ thừa
(1) n 1 ( x 2) n
n 1 n.2 n
a. Tìm miền hội tụ của chuỗi
3
- Luyện giải đề thi cao học môn đại số
b. Tính tổng của chuỗi
Giải:
(1) n 1 ( x 2) n
a. ta có U n ( x)
n.2 n
1 x2 x2
tính lim n U n ( x) lim n
. C
n n n 2 2
theo tiêu chuẩn côsi nếu chuổi hội tụ khi C0 và f ( x, y ) x y2 a
0 ,x y 0
Tuỳ theo giá trị của a>0 xét sự khả vi của f tại (0,0), sự liên tục của f’ x,f’ y tại (0,0)
Giải : Tính các đhr
tại x2+y2>0
1 2x 3 1
f x' 2 x sin cos
(x y )
2 2 a
x y
2 2
x y2
2
a
2x 2 y 1
f y' cos 2
x y
2 2
(x y 2 )a
tại x=y=0
f (t ,0) f (0,0)
f x' lim
t 0 t
f (0, t ) f (0,0)
f y' lim
t 0 t
xét sự khả vi của f tại (0,0) Cần xét : lim ( s, t )
s ,t 0
Với (s, t )
1
f (s, t ) f (0,0) f x
'
(0,0) s f y' (0,0)t
s t
2 2
Nếu lim (s, t ) =0 thì hàm số khả vi tại (0,0) ngược lại thì không khả vi
s ,t 0
4
- Luyện giải đề thi cao học môn đại số
xét sự liên tục của f’x,f’ y tại 0(0,0)
nếu : lim f x
'
( x, y) f x' (0,0) , lim f y
'
( x, y) f y' (0,0) thì hàm số không liên tục tại (0,0)
x , y 0 x , y 0
ngược lại thì liên tục
Bài 5: Cho (X,d ) là không gian Metric A X khác rỗng
Cho f: X R định bởi f(x)=d(x;A)=inf{d(x,y): y A}
a. CM: f liên tục điều trên X
b. Giả sử A là tập đóng , B là tập compác chứa trong X và A B =
Đặt d(A,B)= inf{ d(x,y),x A,y B }
CM : d(A,B)>0
Giải :
a. để CM f liên tục điều trên X cần CM f ( x) f ( x' ) d ( x, x' )
ta có d(x,y) d(x,x’)+d(x’,y) lấy inf 2 vế d(x,A)-d(x’,A) d(x,x’)
tương tự thay đổi vai trò vị trí của x và x’ nhau ta suy ra ĐPCM
vậy f liên tục tại x’, do x’ tuỳ ý nên f liên tục điều trên X
b. Giả sử trái lại d(A,B)=0
Khi đó ta tìm được các dãy (xn) A, (yn) B sao cho limd(xn,yn)=0
Do B compắc nên (yn) có dãy con ( y n ) k hội tụ ve y0 B k
Ta có d ( xn , y0 ) d ( xn , yn ) d ( yn , y0 )
k k k k
Mà lim d ( x nk , y nk ) lim d ( y nk , y0 ) 0 lim d ( xnk , y0 ) 0
k k k
Do A là tập đóng dãy ( xn ) k A, ( xn ) k y0 nên y0 A
k k
Điều này mâu thuẩn với giả thiết A B = .Vậy d(A,B)>0
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 9/2007
MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuổi luỹ thừa
n 1
n
x 2
2n
n 0 2n 3
Giải : Đặt X=(x-2)2 đk X 0
n 1 n
n
n 1
Ta tìm miền hội tụ của chuổi X xét u n
n 0 2n 3 2n 3
5
- Luyện giải đề thi cao học môn đại số
n 1 1
Ta có l lim n u n lim
n n 2n 3 2
1
R 2 nên khoảng hội tụ là (-2,2)
l
Xét tại X= 2, X= -2
n 1 n 2n 2
n n
Ta có chuổi (1) 2
n
(1) n
n 0 2n 3 n 0 2n 3
2n 2
lim n u n lim 1 0 nên chuổi phân kì
n n 2n 3
vậy miền hội tụ theo X là (-2,2)
miền họi tụ theo x là x 2 2 2 2 x 2 2
2 1
( x y ) sin 2 khi x 2 y 2 0
2
2
Bài 2: Cho hàm số f ( x, y ) x y
0 khi x y 0
Chứng tỏ rằng hàm số f(x,y)có đạo hàm riêng f’ x,f’ y không liên tục tại 0(0,0)
Nhưng hàm số f(x,y)khả vi tại 0(0,0).
Giải :
Tính các đhr tại (x,y) (0,0) va tại (x,y)=(0,0)
Tại (x,y) (0,0)
1 2x 1
Ta có f x' 2 x sin 2 2 2 cos 2
x y x y x y
2 2
1 2y 1
f y' 2 y sin 2 2 2 cos 2
2
2
x y x y x y
Tại (x,y)=(0,0)
1
t 2 sin
f (t ,0) f (0,0) t2 1
f x' lim lim lim t 0 do sin 2 1
t 0 t t 0 t t 0 t
1
t 2 sin
f (0, t ) f (0,0) t2 1
f y' lim lim lim t 0 do sin 2 1
t 0 t t 0 t t 0 t
CM : f’x,f’ y không liên tục tại 0(0,0) Ta CM : lim f x' 0 và lim f y
'
0
x , y 0 x , y 0
Hay CM : lim f x
'
( x, y) f x' (0,0) , lim f y
'
( x, y) f y' (0,0)
x , y 0 x , y 0
Ta có :
6
- Luyện giải đề thi cao học môn đại số
1 2x 1
lim f x' ( x, y ) lim 2 x. sin lim 2 . cos 2 ,
x , y 0 x , y 0 x y
2 2
x , y 0 x y
2
x y2
1 1
Do sin 1, 2 x sin 2 x 0, khi x 0
x y22
x y
1 2x 1 2x 2
cos 1 2 . cos 2 2 , khi x 0
x y22
x y 2
x y 2
x y 2
x
nên lim f x
'
( x, y) f x' (0,0)
x , y 0
tương tự ta CM : được lim f y
'
( x, y) f y' (0,0)
x , y 0
vậy f’x,f’y không liên tục tại 0(0,0)
Ta CM : f(x,y)khả vi tại 0(0,0). Cần CM : lim (s, t ) 0
s , t 0
Với (s, t )
1
f (s, t ) f (0,0) f x
'
(0,0) s f y' (0,0)t
s t
2 2
1 1
lim (s, t ) lim
s ,t 0 s , t 0
s 2 t 2 . sin
s t2
2
0 (do sin
s t2
2
1)
vậy f(x,y)khả vi tại 0(0,0)
Bài 3: Cho : 0,1* R R là một hàm số liên tục
CMR : Hàm F: C [0,1] R xác định bởi
1
F ( x) (t , x(t ))dt khi x(t) C0,1 là hàm số liên tục trên C[0,1]
0
Giải: Cố định x0, CM f liên tục tại x0
Đặt M=1+sup x0 (t ) , t C0,1
Cho 0
liên tục trên tập compac D= [0,1]*[-M,M] nên liên tục đều trên D
tồn tại số 1 >0 sao cho
(t , s), (t ' , s' ) D t t ' 1 , s s' 1 (t , s) (t ' , s' )
đặt min(1, 1 ) : x 0,1 d ( x, x0 )
mà x(t ) x0 (t ) 1 x0 (t ) M , M
1
(t , x(t )) (t , x0 (t )) (t, x(t )) (t, x
0
0 (t ))dt F ( x) F ( x0 )
ta CM được 0, 0 : d ( x, x0 ) d ( F ( x), F ( x0 ))
7
- Luyện giải đề thi cao học môn đại số
vậy F liên tục tại x0
Bài 4: Cho ánh xạ tuyến tính f :R 4 R 3 xác định bởi
f(x1,x2,x3,x4)=(x1-2x2+x4,-x1+x2+2x3,-x2+2x3+x4)
1. Tìm cơ sở và số chiều của kerf, Imf
2. f có phải là đơn cấu , toàn cấu không?
Giải : 1.
Tìm cơ sở và số chiều của kerf
Với x=( x1,x2,x3,x4)
Ta có : ker f x R 4 : f ( x) 0
x1 2 x 2 x 4 0
f(x1,x2,x3,x4)=(x1-2x2+x4,-x1+x2+2x3,-x2+2x3+x4)=0 x1 x2 2 x3 0
x 2 x x 0
2 3 4
1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1
lập ma trận A 1 1 2 0 0 1 2 1 0 1 2 1
0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 0 0
vậy Rank(A)=2
x1 2 x 2 x 4
ta có x 2 2 x3 x 4 nên dimKerf=2
x , x R
3 4
nghiệm cơ bản là (1,1,0,1),(4,2,1,0) và là cơ sở của Kerf
do dimKerf =2 0 nên f không đơn cấu
Tìm cơ sở , số chiều của Im f
Im f là không gian con của R3 sinh bởi hệ 4 vectơ
f(e1)=(1,-1,0) với e1=(1,0,0,0)
f(e2)=(-2,1,-1) với e2=(0,1,0,0)
f(e3)=(0,2,2) với e3=(0,0,1,0)
f(e4)=(1,0,1) với e4=(0,0,0,1)
ta tìm hạng của 4 vectơ trên
8
- Luyện giải đề thi cao học môn đại số
1 1 0 1 1 0 1 1 0
2 1 1 0 1 1
xét ma trận B 0 1 1
0 2 2 0 2 2 0 0 0
1 0 1 0 1 1 0 0 0
Rank(B)=2, , dim Imf =2 , cơ sở của Imf là f(e 1),f(e2)
Do , dim Imf =2 nên f không toàn cấu
Bài 5: Cho f : V V ' , g : V V ' ' là những ánh xạ tuyến tính sao cho ker f ker g
Hơn nữaf là một toàn cấu . CMR tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính h : V ' V ' ' sao
cho h.f=g
Giải:
Bài 6: Cho dạng toàn phương trên R3
f(x1,x2,x3)= 2 x12 2 x22 x32 2 x1 x2 ax1 x3
a. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange
b. Với giá trị nào của a thì f xác định dương, không âm
Giải : a. f(x1,x2,x3)= 2 x12 2 x22 x32 2 x1 x2 ax1 x3 =……
2 x ax3 a a2 2
2 2
3
……= 2 x1 2 x x3 1 x3
6
2
4 2 6
x 2 ax3 y 2 ay 3
y1 x1 2 4 x1 y1 2 3
ax3 ay
đặt y 2 x 2 x2 y 2 3
6 6
y 3 x3 x3 y 3
ta được cơ sở f chính tắc là u1=(1,0,0),u2=(-1/2,1,0),u3=(-a/3,a/6,1)
1 a
1 2 3
a
ma trận trong cơ sở chính tắc là Tu 0 1
6
0 0 1
a2
b. f xác định dương khi 1 0 6 a 6
6
9
- Luyện giải đề thi cao học môn đại số
a2
f xác định không âm khi 1 0a 6
6
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 5/2007
MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Bài 1: Cho u=u(x,y), v=v(x,y) là hàm ẩn suy ra từ hệ phương trình
x.e u v 2uv 1 0
u v u
y.e 2x 0
1 v
tìm vi phân du(1,2), dv(1,2) biết u(x,y)=0, v(x,y)=0
F ( x, y , u , v ) 0
Giải : lí thuyết : cho hàm ẩn xác định bởi u=u(x,y), v=v(x,y)
G ( x, y, u, v) 0
Tính các đạo hàm riêng của hàm ẩn
Fx d x Fy d y Fu d u Fv d v 0
' ' ' '
Fx d x Fy d y Fu d u Fv d v
' ' ' '
d u
Từ hệ trên ta có '
G x d x G y d y Gu d u Gv d v
d v
' ' ' ' ' ' '
G
x xd G d
y y G d
u u G d
v v 0
d u (1,2)
Tính
d v (1,2)
Ta có :
Bài 2: Tìm miền hội tụ của chuổi luỹ thừa
1
n(ln n)
n2
2
( x 1) n
1
Giải : Đặt X= x+1 ta được n(ln n)
n 2
2
Xn
1 1
Xét u n u n 1
n(ln n) 2
(n 1)(ln(n 1)) 2
u n 1 n(ln n) 2
Ta có : L lim lim
n ( n 1)ln( n 1)
2
n un
1
2. ln n.
(ln n) 2 lopi tan
n 1 ln n
Tính lim ln(n 1) lim 2
n
1
lim .
n ln( n 1)
n n
2. ln( n 1). n
n 1
10
